[tc6][T6/504, Toán học & tuổi trẻ số 504, tháng 6 năm 2019] Tìm tổng các bình phương tất cả các nghiệm thực của phương trình $$x^5 + 2018x^2 + 2019 = x^4 + 2019x^3 + 2020x.$$

Lời giải

Đặt $a = 2019$ thì phương trình trên được viết lại thành $$\begin{eqnarray*} & &x^5 + (a-1)x^2 + a = x^4 + ax^3 + (a+1)x \\ & \Leftrightarrow & (x^5 - x^4 - x^2 - x) - a(x^3 - x^2 + x - 1) = 0 \\ & \Leftrightarrow & (x^2 + 1)(x^3 - x^2 - x) - a(x^2 + 1)(x-1) = 0 \\ & \Leftrightarrow & x^3 - x^2 - x - a(x-1) = 0 (\text{do } x^2 + 1 > 0) \\ & \Leftrightarrow & x^3 - x^2 - (a+1)x + a = 0 \quad (1) \end{eqnarray*}$$ Hàm số $f(x) = x^3 - x^2 - (a+1)x + a$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có $$f(0) = a > 0, f(1) = -1 < 0, f(50) = 23519 > 0, f(-50) = -24481 < 0.$$ Do đó, trên mỗi khoảng $(-50;0), (0;1), (1;50)$ thì phương trình $(1)$ có ít nhất một nghiệm thực.
Hơn nữa, phương trình $(1)$ là phương trình đa thức bậc ba nên nó có không quá $3$ nghiệm.
Như vậy, phương trình $(1)$ có đúng $3$ nghiệm thực $x_1$, $x_2$, $x_3$.
Từ đó suy ra phương trình ban đầu có đúng $3$ nghiệm thực $x_1$, $x_2$, $x_3$.
Theo định lí Viète, ta có $\left\{ \begin{array}{l}& x_1 + x_2 + x_3 = 1\\& x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = -(a+1).\end{array} \right.$
Vậy $$\begin{eqnarray*} x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 & = & (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) \\ & = & 1 + 2(a+1) = 4041. \end{eqnarray*}$$