[T11/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho $h$ là số nguyên dương sao cho $2^h+1=p$ là một số nguyên tố. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho $2^k-1$ chia hết cho $p$.

[T11/513 Toán học & tuổi trẻ số 513, tháng 3 năm 2020] Cho $h$ là số nguyên dương sao cho $2^h+1=p$ là một số nguyên tố. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho $2^k-1$ chia hết cho $p$.

Lời giải

Ta có $2^k\equiv-1\left(\bmod p \right)$ nên $2^{2h}\equiv1\left(\bmod p \right)$.{(1)}
Số dương $k$ là cấp của $2\ \left(\bmod p \right)$, $k=ord_p2$. Theo tính chất cơ bản của cấp, từ (1) suy ra $k|2h$. Ta có $2^k\equiv1\left(\bmod p \right)$.
Nếu $k\le h$ thì $2^k-1 < 2^h+1=p$ (loại). Vậy $k > h$.
Nếu $k$ lẻ thì từ $k|2h$ suy ra $k|h$, dẫn đến $$2^h\equiv1\left(\bmod p \right)\Rightarrow p=2\quad (\mbox{loại})$$ Vậy $k$ chẵn. Đặt $k=2t$, với $t|h$. Ta có $2^k-1=2^{2t}-1=\left(2^t-1 \right) \left(2^t+1 \right)$ nên chia hết cho $p$. Do $p$ là số nguyên tố và $2^t-1 < 2^t+1=p$ nên $2^t+1$ chia hết cho $p$, suy ra $2^t+1\ge p$.
Mà $2^t+1\le 2^h+1=p\Rightarrow t=h$. Từ đó $k=2h$.