Loading web-font TeX/Math/Italic

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc56][T8/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Giả sử mặt cầu nội tiếp tứ diện A_1A_2A_3A_4 tiếp xúc với các mặt đối diện với đỉnh A_i tương ứng tại B_i (i=1,2,3,4). Chứng minh rằng tứ diện B_1B_2B_3B_4 là tứ diện gần đều (tứ diện có các cạnh đối diện bằng nhau) khi và chỉ khi tứ diện A_1A_2A_3A_4 là gần đều. %%%% Tác giả: Vũ Đức Sơn, Hà Nội

Lời giải

Lưu ý rằng tứ diện X_1X_2X_3X_4 là tứ diện gần đều khi và chỉ khi tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là trọng tâm của tứ diện đó, nghĩa là \sum\limits_{i=1}^{4}\overrightarrow{OX_i}=\overrightarrow{0}.
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện A_1A_2A_3A_4 thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện B_1B_2B_3B_4. Từ đó tứ diện B_1B_2B_3B_4 gần đều khi và chỉ khi \sum\limits_{i=1}^{4}\overrightarrow{IB_i}=\overrightarrow{0}.(1)
Gọi S_i là diện tích mặt đối diện đỉnh A_i (i=1,2,3,4) của tứ diện A_1A_2A_3A_4. Vì \overrightarrow{IB_i} vuông góc với mặt đối diện của đỉnh A_i (i=1,2,3,4) và \left|\overrightarrow{IB_1}\right|=\left|\overrightarrow{IB_2}\right|=\left|\overrightarrow{IB_3}\right|=\left|\overrightarrow{IB_4}\right| } nên theo định lý Con Nhím<> ta có \sum\limits_{i=1}^{4}S_i \cdot \overrightarrow{IB_i}=\overrightarrow{0}.\tag{2}
Từ (1)(2) suy ra tứ diện B_1B_2B_3B_4 gần đều khi và chỉ khi S_1=S_2=S_3=S_4, khi và chỉ khi tứ diện A_1A_2A_3A_4 là tứ diện gần đều. } Bài toán này là một hệ quả trực tiếp của định lý Con Nhím<> trong không gian. Nội dung của định lý này như sau: ``Cho tứ diện X_1X_2X_3X_4. Gọi S_i (i=1,2,3,4) là diện tích mặt đối diện của đỉnh A_i; gọi \overrightarrow{e}_i (i=1,2,3,4) là các véc-tơ đơn vị vuông góc với mặt đối diện đỉnh A_i và hướng từ một điểm bên trong tứ diện đó ra phía ngoài tứ diện thì ta có \sum\limits_{i=1}^{4}S_i \cdot \overrightarrow{e}_i=\overrightarrow{0}''. \end{nx

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét