Lời giải
Lưu ý rằng tứ diện X_1X_2X_3X_4 là tứ diện gần đều khi và chỉ khi tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là trọng tâm của tứ diện đó, nghĩa là \sum\limits_{i=1}^{4}\overrightarrow{OX_i}=\overrightarrow{0}.Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện A_1A_2A_3A_4 thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện B_1B_2B_3B_4. Từ đó tứ diện B_1B_2B_3B_4 gần đều khi và chỉ khi \sum\limits_{i=1}^{4}\overrightarrow{IB_i}=\overrightarrow{0}.(1)
Gọi S_i là diện tích mặt đối diện đỉnh A_i (i=1,2,3,4) của tứ diện A_1A_2A_3A_4. Vì \overrightarrow{IB_i} vuông góc với mặt đối diện của đỉnh A_i (i=1,2,3,4) và \left|\overrightarrow{IB_1}\right|=\left|\overrightarrow{IB_2}\right|=\left|\overrightarrow{IB_3}\right|=\left|\overrightarrow{IB_4}\right|

Từ (1) và (2) suy ra tứ diện B_1B_2B_3B_4 gần đều khi và chỉ khi S_1=S_2=S_3=S_4, khi và chỉ khi tứ diện A_1A_2A_3A_4 là tứ diện gần đều.
}
Bài toán này là một hệ quả trực tiếp của định lý Con Nhím<> trong không gian. Nội dung của định lý này như sau: ``Cho tứ diện X_1X_2X_3X_4. Gọi S_i (i=1,2,3,4) là diện tích mặt đối diện của đỉnh A_i; gọi \overrightarrow{e}_i (i=1,2,3,4) là các véc-tơ đơn vị vuông góc với mặt đối diện đỉnh A_i và hướng từ một điểm bên trong tứ diện đó ra phía ngoài tứ diện thì ta có \sum\limits_{i=1}^{4}S_i \cdot \overrightarrow{e}_i=\overrightarrow{0}''.
\end{nx
0 nhận xét:
Đăng nhận xét