[tc56][T8/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Giả sử mặt cầu nội tiếp tứ diện $A_1A_2A_3A_4$ tiếp xúc với các mặt đối diện với đỉnh $A_i$ tương ứng tại $B_i$ ($i=1,2,3,4$). Chứng minh rằng tứ diện $B_1B_2B_3B_4$ là tứ diện gần đều (tứ diện có các cạnh đối diện bằng nhau) khi và chỉ khi tứ diện $A_1A_2A_3A_4$ là gần đều. %%%% Tác giả: Vũ Đức Sơn, Hà Nội

Lời giải

Lưu ý rằng tứ diện $X_1X_2X_3X_4$ là tứ diện gần đều khi và chỉ khi tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là trọng tâm của tứ diện đó, nghĩa là $\sum\limits_{i=1}^{4}\overrightarrow{OX_i}=\overrightarrow{0}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $A_1A_2A_3A_4$ thì $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $B_1B_2B_3B_4$. Từ đó tứ diện $B_1B_2B_3B_4$ gần đều khi và chỉ khi $\sum\limits_{i=1}^{4}\overrightarrow{IB_i}=\overrightarrow{0}$.$(1)$
Gọi $S_i$ là diện tích mặt đối diện đỉnh $A_i$ ($i=1,2,3,4$) của tứ diện $A_1A_2A_3A_4$. Vì $\overrightarrow{IB_i}$ vuông góc với mặt đối diện của đỉnh $A_i$ ($i=1,2,3,4$) và $\left|\overrightarrow{IB_1}\right|=\left|\overrightarrow{IB_2}\right|=\left|\overrightarrow{IB_3}\right|=\left|\overrightarrow{IB_4}\right|$ } nên theo định lý Con Nhím<> ta có \[\sum\limits_{i=1}^{4}S_i \cdot \overrightarrow{IB_i}=\overrightarrow{0}.\tag{2}\] Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra tứ diện $B_1B_2B_3B_4$ gần đều khi và chỉ khi $S_1=S_2=S_3=S_4$, khi và chỉ khi tứ diện $A_1A_2A_3A_4$ là tứ diện gần đều. } Bài toán này là một hệ quả trực tiếp của định lý Con Nhím<> trong không gian. Nội dung của định lý này như sau: ``Cho tứ diện $X_1X_2X_3X_4$. Gọi $S_i$ ($i=1,2,3,4$) là diện tích mặt đối diện của đỉnh $A_i$; gọi $\overrightarrow{e}_i$ ($i=1,2,3,4$) là các véc-tơ đơn vị vuông góc với mặt đối diện đỉnh $A_i$ và hướng từ một điểm bên trong tứ diện đó ra phía ngoài tứ diện thì ta có $\sum\limits_{i=1}^{4}S_i \cdot \overrightarrow{e}_i=\overrightarrow{0}$''. \end{nx