Lời giải
Vì x_1,~x_2,\ldots ,~x_n là các nghiệm nên P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n). Khi đó \begin{align*} P'(x)&=(x-x_2)\cdots (x-x_n) + (x-x_1)(x-x_3)\cdots (x-x_n) + \cdots \\ &+ (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1}). \end{align*}Suy ra \begin{eqnarray*} A& = & \dfrac{x_1^n}{P'\left(x_1\right)}+\dfrac{x_2^n}{P'\left(x_2\right)}+\cdots +\dfrac{x_n^n}{P'\left(x_n\right)}\\ & = & \dfrac{x_1^n}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)} + \dfrac{x_2^n}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)} \\ & & + \cdots + \dfrac{x_n^n}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}. \end{eqnarray*} }Xét đa thức \begin{eqnarray*} f(x)& = & x_1^n \cdot \dfrac{(x-x_2)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)} + x_2^n \cdot \dfrac{(x-x_1)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)} \\ & & + \cdots + x_n^n \cdot \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})} -x^n + (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n}). \end{eqnarray*} }Ta có f(x_1)=f(x_2)=\ldots =f(x_n)=0 và \deg f(x) \le n-1. Do đó f(x) \equiv 0. Đa thức có hệ số cao nhất là A-(x_1+x_2+\cdots +x_n)=0. Theo hệ thức Viète, ta có x_1+x_2+\cdots +x_n=-1. Vậy A=-1. } Không giải trực tiếp, có bạn đã sử dụng công thức nội suy Lagrange để chứng minh nếu x_1,x_2,\ldots ,x_n các nghiệm phân biệt của P(x) thì \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x_k^n}{\prod\limits_{\substack{j=1\\j\ne k}}^{n}(x_k-x_j)}=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k. Từ đó dẫn tới A=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k=-1. \end{nxThư viện tra cứu id trong tài liệu
Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu
Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020
[tc55][T7/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Cho đa thức P(x)=x^n+x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots + a_1x+a_0 có n nghiệm thực x_1,~x_2,\ldots ,~x_n đôi một phân biệt. Chứng minh rằng \dfrac{x_1^n}{P'\left(x_1\right)}+\dfrac{x_2^n}{P'\left(x_2\right)}+\cdots +\dfrac{x_n^n}{P'\left(x_n\right)}=-1, trong đó P'(x) là đạo hàm của P(x). %%%% Tác giả: Trần Văn Hạnh, GV Đại học Phạn Văn Đồng, Quảng Ngãi |
By Vũ Ngọc Thành bản Vàng Pheo, xã Mường So, Phong Thổ, Lai Châu at tháng 10 03, 2020
Toán học tuổi trẻ
No comments
Bài viết cùng chủ đề:
[tc41][T5/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Giải phương trình $ \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+\dfrac{2x+6}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\right)^2}=2. $ Lời giải {\begin{eqnarray*} && \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+\dfrac{2x+6}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\right)^2}=2\\ &\Leftrightarrow& \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}+\dfrac{2x+6}{\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\right)^2}-2=0\\ &\Leftrightarr… Read More
[tc52][T4/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ nhọn. Về phía ngoài tam giác $ABC$, vẽ hai tam giác đều $ABD$ và $ACE$. Trên các cạnh $AD$, $CE$, $CB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $F$ sao cho $\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{1}{3}$. So sánh độ dài của hai đoạn thẳng $MN$ và $EF$. Lời giải \immini { Trên cạnh $AC$ lấy điểm $I$ sao cho $\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{1}{3}$. Ta có $\dfrac{CI}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{1}{3}$ và $\widehat{C}$ chung nên $\triangle CAB\backsim\triangle CIF$ (c.g.c). Do đó $\dfrac… Read More
[tc44][T8/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Chứng minh rằng với mọi $ \triangle ABC $ ta luôn có $ \dfrac{(b+c)a}{m_a^2}+\dfrac{(c+a)b}{m_b^2}+\dfrac{(a+b)c}{m_c^2} \ge 8 $ \item trong đó $ a,b,c,m_a,m_b,m_c $ thứ tự là độ dài các cạnh $ BC, CA, AB $ và độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh $ a,b,c $. Lời giải \item Gọi $ D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $ BC, CA, AB; G $ là trọng tậm của $ \triangle ABC $. Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác $ BDGF $ ta được: \[ FD\cdot BG \le FG\cdot BD+BF\cdot GD \Righta… Read More
[tc62][T2/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019] Tìm $2019$ số mà mỗi số có giá trị tuyệt đối không lớn hơn $0{,}5$ và tổng của ba số bất kỳ là một số nguyên. Lời giải Gọi các số cần tìm là: $x_1,x_2,\cdots , x_{2019}$. Theo đề bài ta có: $-0{,}5\leq x_1,x_2,\cdots ,x_{2019}\leq 0{,}5$. Giả sử trong $2019$ số này có ít nhất hai số khác nhau. Không mất tính tổng quát, gọi hai số đ… Read More
[tc45][T9/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{b^5}{c^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{c^5}{a^4}}$. Lời giải Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $9$ số dương, ta có \begin{eqnarray*} && \sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+ab+ab+ab+ab+1+1\\ &\geq & 9\sqrt[9]{\sqrt[3]{\dfrac… Read More
0 nhận xét:
Đăng nhận xét