Lời giải
Vì x_1,~x_2,\ldots ,~x_n là các nghiệm nên P(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n). Khi đó \begin{align*} P'(x)&=(x-x_2)\cdots (x-x_n) + (x-x_1)(x-x_3)\cdots (x-x_n) + \cdots \\ &+ (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1}). \end{align*}Suy ra
\begin{eqnarray*}
A& = & \dfrac{x_1^n}{P'\left(x_1\right)}+\dfrac{x_2^n}{P'\left(x_2\right)}+\cdots +\dfrac{x_n^n}{P'\left(x_n\right)}\\
& = & \dfrac{x_1^n}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)} + \dfrac{x_2^n}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)} \\
& & + \cdots + \dfrac{x_n^n}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}.
\end{eqnarray*}
}Xét đa thức
\begin{eqnarray*}
f(x)& = & x_1^n \cdot \dfrac{(x-x_2)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)} + x_2^n \cdot \dfrac{(x-x_1)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\cdots (x_2-x_n)} \\
& & + \cdots + x_n^n \cdot \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})} -x^n + (x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n}).
\end{eqnarray*}
}Ta có f(x_1)=f(x_2)=\ldots =f(x_n)=0 và \deg f(x) \le n-1. Do đó f(x) \equiv 0. Đa thức có hệ số cao nhất là A-(x_1+x_2+\cdots +x_n)=0. Theo hệ thức Viète, ta có x_1+x_2+\cdots +x_n=-1. Vậy A=-1.
}
Không giải trực tiếp, có bạn đã sử dụng công thức nội suy Lagrange để chứng minh nếu x_1,x_2,\ldots ,x_n các nghiệm phân biệt của P(x) thì \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x_k^n}{\prod\limits_{\substack{j=1\\j\ne k}}^{n}(x_k-x_j)}=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k. Từ đó dẫn tới A=\sum\limits_{k=1}^{n}x_k=-1.
\end{nx
0 nhận xét:
Đăng nhận xét