Lời giải
Trước hết ta chứng minh 0 < f(A, B, C) < 2 với mọi A,B,C là 3 góc của tam giác. Thật vậy: f(A, B, C)=\sin A+\sin B+\sin C(1-\sin A \sin B) > 0. Gọi A là góc nhỏ nhất trong ba góc A,B,C suy ra 0^{^{\circ}} < A \le 60^{\circ}. Ta sẽ chứng minh: f(A, B, C)=\sin A+\sin B+\sin C-\sin A \sin B \sin C\le \sin A+2 \cos \dfrac{A}{2}-\sin A \cos^{2} \dfrac{A}{2}.\tag{1} Thật vậy: \begin{align*} (1)\Leftrightarrow& \sin B+\sin C-\sin A \sin B \sin C\le 2 \cos \dfrac{A}{2}-\sin A \cos ^{2} \dfrac{A}{2}\\ \Leftrightarrow& \sin B+\sin C-2 \cos \dfrac{A}{2} \le \sin A\left(\sin B \sin C-\cos ^{2} \dfrac{A}{2}\right)\\ \Leftrightarrow& 2 \cos \dfrac{A}{2}\left(\cos \dfrac{B-C}{2}-1\right)\le \dfrac{1}{2} \sin A[\cos (B-C)-\cos (B+C)-1-\cos A]\\ \Leftrightarrow& 2 \cos \dfrac{A}{2}\left(1-\cos \dfrac{B-C}{2}\right) \geq \dfrac{1}{2} \sin A[1-\cos (B-C)]\\ \Leftrightarrow& 1-\cos \dfrac{B-C}{2} \geq \dfrac{1}{2} \sin \dfrac{A}{2}[1-\cos (B-C)].\tag{2} \end{align*}Vì 0^{^{\circ}} < A \le 60^{^{\circ}} nên \sin \dfrac{A}{2} \le \dfrac{1}{2}, do đó: \begin{align*} VP(2)&\le \dfrac{1}{4}[1-\cos (B-C)]=\dfrac{1}{2} \sin ^{2} \dfrac{B-C}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \cos ^{2} \dfrac{B-C}{2}\\ &=1-\cos \dfrac{B-C}{2}-\dfrac{1}{2}\left(1-\cos \dfrac{B-C}{2}\right)^{2}\\ &\le 1-\cos \dfrac{B-C}{2}=VT(2). \end{align*} Vậy f(A, B, C)\le\sin A+2 \cos \dfrac{A}{2}-\sin A \cos ^{2} \dfrac{A}{2}=g(A).Thư viện tra cứu id trong tài liệu
Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu
Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020
[tc67][T7/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019] Tìm tập giá trị của biểu thức f(A, B, C)=\sin A+\sin B+\sin C-\sin A \sin B \sin C với A,B,C là 3 góc của tam giác. |
By Vũ Ngọc Thành bản Vàng Pheo, xã Mường So, Phong Thổ, Lai Châu at tháng 10 03, 2020
Toán học tuổi trẻ
No comments
Bài viết cùng chủ đề:
\maid{[tc33]}[T9/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{b^5}{c^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{c^5}{a^4}}$. Lời giải Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $9$ số dương, ta có \begin{eqnarray*} && \sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+\sqrt[3]{\dfrac{a^5}{b^4}}+ab+ab+ab+ab+1+1\\ &\geq & 9\sqrt[9]{\sqrt[3]{\dfrac… Read More
\maid{[tc36]}[T12/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ $(AB < AC)$. Hai đường cao $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là tâm đường tròn đi qua $A$, $B$ và tiếp xúc với $BC$ và $J$ là tâm đường tròn đi qua $B$, $H$ và tiếp xúc với $BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AH$, $S=EF\cap BC$. Chứng minh rằng $SM$ chia đôi $IJ$. Lời giải Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$; $N$ là giao điểm của $AI$ và $HJ$; $X$, $Y$ theo thứ tự là giao điểm của $NA$, $NH$ và $EF$; $Z$ là hình chiếu của $N$ trên $BC$. Dễ thấy tứ giác $AEHF$ nội tiếp. Từ đó, ch… Read More
\maid{[tc21]}[T9/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019]%[EX-TapChi15]%[Bùi Đức Thăng] Cho các số thực dương $a,b,c$ và $-2 < k < 2$. Chứng minh rằng \begin{eqnarray*} 27(a^2+kab+b^2)(b^2+kbc+c^2)(c^2+kca+a^2) \ge (k+2)^3(ab+bc+ca)^3. \end{eqnarray*} Lời giải Ta có: \begin{eqnarray*} 4(a^2+kab+b^2)&=&(k+2)(a^2+2ab+b^2)+(2-k)((a^2-2ab+b^2)) \\ &=&(k+2)(a+b)^2-(2-k)(a-b)^2 \ge (k+2)(a+b)^2 \quad (do |k| 2). \end{eqnarray*} Do đó: \quad $a^2+kab+b^2 \ge \dfrac{k+2}{4}(a+b… Read More
\maid{[tc28]}[T4/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho tam giác nhọn $ABC$ có hai đường cao $BE$ và $CF$. Kẻ $FH$ và $EK$ cùng vuông góc với $BC$ $\left(H, K \in BC\right)$. Kẻ $HM$ song song với $AC$ và $KN$ song song với $AB$ $\left(M \in AB, N \in AC \right)$. Chứng minh $EF \parallel MN$. Lời giải Kẻ đường cao $AD$. Khi đó ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $I$. Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^\circ$ $\Rightarrow $ Tứ giác $ABDE$ nội tiếp. Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{EDC}$. Mà $\widehat{BA… Read More
\maid{[tc20]}[T8/505 Toán học & tuổi trẻ số 505, tháng 7 năm 2019]%[EX-TapChi15]%[Bùi Đức Thăng] Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$ ta có bất đẳng thức sau \begin{eqnarray*} (1+\sin^2\dfrac{A}{2})(1+\sin^2\dfrac{B}{2})(1+\sin^2\dfrac{C}{2}) \ge \dfrac{125}{64}. \end{eqnarray*} Lời giải Ta có: \begin{eqnarray*} &&\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\\ &\Rightarrow& 1-2\sin^2\dfrac{A}{2}+ 1-2\sin^2\dfrac{B}{2}+1-2\sin^2\dfrac{C}{2}=1+4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B… Read More
0 nhận xét:
Đăng nhận xét