[tc40][T4/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho tam giác nhọn $ABC$ có hai đường cao $BE$ và $CF$. Kẻ $FH$ và $EK$ cùng vuông góc với $BC$ $\left(H, K \in BC\right)$. Kẻ $HM$ song song với $AC$ và $KN$ song song với $AB$ $\left(M \in AB, N \in AC \right)$. Chứng minh $EF \parallel MN$.

Lời giải

Kẻ đường cao $AD$.
Khi đó ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ đồng quy tại $I$.
Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^\circ$
$\Rightarrow$ Tứ giác $ABDE$ nội tiếp.
Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{EDC}$.
Mà $\widehat{BAC}=\widehat{KNC}$ (do $NK \parallel AB$)
nên $\widehat{EDC}=\widehat{KNC}$.
Do đó tứ giác $DKNE$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{NDE}= \widehat{EKD}=90^\circ$.
Chứng minh tương tự ta có $\widehat{DMA}=90^\circ$.
Ta có $\widehat{DMA}+\widehat{DNA}=90^\circ + 90^\circ =180^\circ$.
Suy ra tứ giác $AMDN$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MND}=\widehat{BAD}$.
Ta có: $\widehat{AFI}+\widehat{AEI}=90^\circ + 90^\circ =180^\circ \Rightarrow$ Tứ giác $AFIE$ nội tiếp. Do đó ta có $\widehat{FEI} = \widehat{BAD}$. Mà $\widehat{MND}=\widehat{BAD}$ nên $\widehat{MND}=\widehat{FEI}$.
Mặt khác $\widehat{MND}+\widehat{MNA}=90^\circ$ (do $DN \perp AC$); $\widehat{FEI}+\widehat{FEA}=90^\circ$ nên $\widehat{FEA}=\widehat{MNA}$.
Hơn nữa hai góc này ở vị trí so le trong nên $MN \parallel EF$.