[tc38][T2/506 Toán học & tuổi trẻ số 506, tháng 8 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$ là điểm thuộc miền trong của góc $\widehat{A}$ sao cho $HB \perp BA$, $HC \perp CA$. Trên đoạn $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $BM=\dfrac{1}{4}BC$. Gọi $N$ là trung điểm $AC$. Tính số đo góc $\widehat{HMN}$.

Lời giải

Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BC$, $J$ là giao điểm của $MN$ và $AB$. Vẽ điểm $K$ sao cho $N$ là trung điểm của $IK$. Nối $HN$, $HJ$, $KA$, $KB$.
Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ACH$ có
$\widehat{ABH} = \widehat{ACH}=90^\circ$
$\text{cạnh } AH \text{ chung}$, $AB = AC$
Suy ra $\triangle ABH = \triangle ACH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Suy ra $HB=HC$. Ta lại có $AB=AC$, suy ra $AH$ là đường trung trực của $BC$. Do đó $I$ là trung điểm của $BC$, mà $BM = \dfrac{1}{4}BC$, suy ra $BM=IM$. Xét $\triangle ANK$ và $\triangle CNI$ có $AB=CN$, $\widehat{ANK} = \widehat{CNI}$, $NK=NI$.
Suy ra $\triangle ANK = \triangle CNI$ (c.g.c) $\Rightarrow AK=CI,\, \widehat{CAK}=\widehat{ACB}$.
Ta có $AK=CI$, $CI=IB$ suy ra $AK=IB$.
Ta có $\widehat{CAK}=\widehat{ACB}$, hai góc này ở vị trí so le trong nên $AK \parallel BC \Rightarrow \widehat{AKB} = \widehat{IBK}$.
Xét $\triangle AKB$ và $\triangle IBK$ có $AK=IB$, $\widehat{AKB} = \widehat{IBK}$, cạnh $BK$ chung.
Suy ra $\triangle AKB = \triangle IBK$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{BKN}, \, AB=IK$.
Ta có $\widehat{ABK}=\widehat{BKN}$, hai góc này ở vị trí so le trong nên $IN \parallel AB$.
Ta có $IK=AB$, mà $IN=\dfrac{1}{2}IK$ nên $IN =\dfrac{1}{2}AB$.
Xét $\triangle BMJ$ và $\triangle IMN$ có $\widehat{JBM} = \widehat{NIM}$, $MB=MI$, $\widehat{BMJ} = \widehat{IMN}$.
Suy ra $\triangle JBM = \triangle IMN$ (g.c.g) $\Rightarrow MJ=MN$, $BJ=IN$.
Ta có $BJ=IN$, $IN = \dfrac{1}{2}AB$, $NC=\dfrac{1}{2}AC$, $AB = AC \Rightarrow BJ=NC$.
Xét $\triangle HJB$ và $\triangle HNC$ có $HB =HC$, $\widehat{HBJ}=\widehat{HCN} = 90^\circ$, $BJ=NC$.
Suy ra $\triangle HJB = \triangle HNC$ (c.g.c) $\Rightarrow HJ=HN$.
Do đó $\triangle HJN$ cân tại $H$ có $HM$ là trung tuyến, suy ra $HM$ là đường cao. Vậy $\widehat{HMN}=90^\circ$.