[tc49][T1/507 Toán học & tuổi trẻ số 507, tháng 9 năm 2019] Tồn tại hay không số tự nhiên $n$ sao cho tổng $T=1+2+3+\cdots+n$ có chữ số tận cùng là $2$, $4$, $7$ hoặc $9$?

Lời giải

Gọi chữ số tận cùng của tổng $T$ là $t$, tức là $T=10x+t$ với $x$, $t$ là các số tự nhiên, $0\le t\le 9$. Giả sử các số $n$ và $m$ có chữ số tận cùng tương ứng là $a$ và $b$, tức là $n=10k+a$ và $m=10h+b$, trong đó các số $a$, $b$, $k$, $h$ đều là các số tự nhiên và $0\le a\le 9$, $0\le b\le 9$ thì

• Tổng $n+m$ và tổng $a+b$ có chữ số tận cùng giống nhau;
• Tích $nm$ và tích $ab$ có chữ số tận cùng giống nhau.
  Thật vậy, $n+m-(a+b)=10k+a+10h+b-(a+b)=10(k+h)\ \vdots \ 10$
  và $nm-ab=(10k+a)(10h+b)-ab=10(10kh+ha+kb)\ \vdots\ 10$.

$T=\dfrac{n(n+1)}{2}$. Thật vậy,
$2T=1+n+2+(n-1)+\cdots+(n-1)+2+n+1=n(n+1)\Rightarrow T=\dfrac{n(n+1)}{2}$. Nếu $n$ có chữ số tận cùng là $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ thì $n+1$ tương ứng có chữ số tận cùng là $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $0$. Khi đó theo nhận xét trên, số $n(n+1)$ có chữ số tận cùng là $0$, $2$, $6$. \hfil$(1)$ Như vậy nếu số $T=\dfrac{n(n+1)}{2}$ có chữ số tận cùng là $2$, $4$, $7$ hoặc $9$ thì $n(n+1)$ có chữ số tận cùng là $4$ hoặc $8$, trái với $(1)$. Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho tổng $T$ có chữ số tận cùng là $2$, $4$, $7$ hoặc $9$. Các bài toán tương tự: Tìm chữ số tận cùng của một tổng các số lẻ (hoặc số chẵn, hoặc số bội $3$) liên tiếp từ $1$ đến $2n+1$ (hoặc từ $2m+1$ đến $2n+1$ với $m < n$).