Processing math: 100%

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020

[tc70][T10/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019] Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n\ge 1, phương trình x^{2n+1}=x+1 có một nghiệm thự duy nhất, kí hiệu là x_n và tìm \lim\limits_{n\to +\infty} x_n.

Lời giải

Ta có: x^{2n+1}=x+1 \Leftrightarrow x\left(x^{2 n}-1\right)=1.(*) [-]
  • Với x\le -1 thì x^{2 n}-1 \geq 0 \Rightarrow VT(*) \leq 0, vậy (*) không có nghiệm x\le -1.
  • Với -1 < x\le 0 thì x+1 > 0, x^{2 n+1} \leq 0, do đó -1 < x \leq 0 không là nghiệm của (*).
  • Với 0 < x \leq 1 thì x^{2 n}-1 \leq 0, x > 0, nên VT(*) \leq 0, vậy (*) không có nghiệm 0 < x \leq 1.
  • Do đó PT (*) nếu có nghiệm x thì x > 1.
    Đặt f_{n}(x)=x^{2 n+1}-x-1 thì f_{n}^{\prime}(x)=(2 n+1) x^{2 n}-1 > 0, \forall x \geq 1, do đó f_{n}(x) đồng biến trên (1; +\infty). Lại có f_{n}(1)=-1 < 0 ; f_{n}(2)=2^{2 n+1}-3 > 0 nên f_{n}(x) có nghiệm duy nhất trên (1;2). Kí hiệu nghiệm duy nhất là x_n. Ta có: \begin{align*} f_{n+1}\left(x_{n}\right)&=x_{n}^{2 n+3}-x_{n}-1 > x_{n}^{2 n+1}-x_{n}-1\\ &=f_{n}\left(x_{n}\right)=0=f_{n+1}\left(x_{n+1}\right). \end{align*} Do đó x_{n} > x_{n+1} > 1. Dãy (x_n) là dãy giảm và bị chặn dưới nên tồn tại \lim\limits_{n \rightarrow+\infty}x_{n}=a \geq 1. Giả sử a > 1, khi đó tồn tại k đủ lớn sao cho a^{2 k+1} > 3.
    Vậy x_{k}^{2 k+1} \geq a^{2 k+1} > 3x_{k} < 2 \Rightarrow x_{k}+1 < 3\Rightarrow x_{k}+1 < x_{k}^{2 k+1}.
    Lúc này 0=f_{k}\left(x_{k}\right)=x_{k}^{2 k+1}-\left(x_{k}+1\right) > 0 (mâu thuẫn).
    Vậy a=1. Do đó PT x^{2 n+1}=x+1 có một nghiệm thực x_n duy nhất và \lim\limits_{n \to+\infty} x_{n}=1.

    Bài viết cùng chủ đề:

    0 nhận xét:

    Đăng nhận xét