Lời giải
Ta có: x^{2n+1}=x+1 \Leftrightarrow x\left(x^{2 n}-1\right)=1.(*) [-]Đặt f_{n}(x)=x^{2 n+1}-x-1 thì f_{n}^{\prime}(x)=(2 n+1) x^{2 n}-1 > 0, \forall x \geq 1, do đó f_{n}(x) đồng biến trên (1; +\infty). Lại có f_{n}(1)=-1 < 0 ; f_{n}(2)=2^{2 n+1}-3 > 0 nên f_{n}(x) có nghiệm duy nhất trên (1;2). Kí hiệu nghiệm duy nhất là x_n. Ta có: \begin{align*} f_{n+1}\left(x_{n}\right)&=x_{n}^{2 n+3}-x_{n}-1 > x_{n}^{2 n+1}-x_{n}-1\\ &=f_{n}\left(x_{n}\right)=0=f_{n+1}\left(x_{n+1}\right). \end{align*} Do đó x_{n} > x_{n+1} > 1. Dãy (x_n) là dãy giảm và bị chặn dưới nên tồn tại \lim\limits_{n \rightarrow+\infty}x_{n}=a \geq 1. Giả sử a > 1, khi đó tồn tại k đủ lớn sao cho a^{2 k+1} > 3.
Vậy x_{k}^{2 k+1} \geq a^{2 k+1} > 3 và x_{k} < 2 \Rightarrow x_{k}+1 < 3\Rightarrow x_{k}+1 < x_{k}^{2 k+1}.
Lúc này 0=f_{k}\left(x_{k}\right)=x_{k}^{2 k+1}-\left(x_{k}+1\right) > 0 (mâu thuẫn).
Vậy a=1. Do đó PT x^{2 n+1}=x+1 có một nghiệm thực x_n duy nhất và \lim\limits_{n \to+\infty} x_{n}=1.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét