Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra: b=m+a, c=b+m, d=c+m (m\in\mathbb{R^*}) \Rightarrow c=a+2m. BĐT cần được chứng minh \begin{align*} \Leftrightarrow& 2m\left[(2m+a) \cdot e^{a^{2}}+a \cdot e^{b^{2}}+(m+a) \cdot e^{c^2}\right] < e^{d^{2}}-e^{a^{2}}\tag{1}\\ \Leftrightarrow& 2 m\left(c\cdot e^{a^{2}}+a\cdot e^{b^{2}}+b\cdot e^{c^{2}}\right) < e^{d^{2}}-e^{a^{2}}. \end{align*}Xét hàm số f(x)=e^{x^{2}}, x > 0. Ta có f^{\prime}(x)=2 x \cdot e^{x^{2}} là hàm số đồng biến (vì x và e^{x^2}, x > 0 là các hàm số dương, đồng biến). Áp dụng định lý Lagrange ta có: 0 < x < y, \exists x < t < y mà f(y)-f(x)=f^{\prime}(t) \cdot (y-x)=2 t \cdot e^{t^{2}}(y-x) > 2 x \cdot e^{x^{2}}(y-x). Do đó: \begin{align*} e^{d^{2}}-e^{a^{2}}&=f(d)-f(a)=[f(d)-f(c)]+[f(c)-f(b)]+[f(b)-f(a)]\\ & > 2 m\left(c e^{c^{2}}+b \cdot e^{b^{2}}+a \cdot e^{a^{2}}\right).\tag{2} \end{align*} Chú ý: \begin{align*} &c\cdot e^{c^{2}}+b\cdot e^{b^{2}}+a\cdot e^{a^{2}}-\left(c\cdot e^{a^{2}}+a\cdot e^{b^{2}}+b\cdot e^{c^{2}}\right)\\ =&(c-b)\cdot e^{c^{2}}+(b-a)\cdot e^{b^{2}}-(c-a)\cdot e^{a^{2}}\\ > &(c-b)\cdot e^{a^{2}}+(b-a)\cdot e^{a^{2}}-(c-a)\cdot e^{a^{2}}=0. \tag{3} \end{align*}(do c > b > a > 0). Từ (2) và (3) suy ra bất đẳng thức (1). Ta có ĐPCM.Thư viện tra cứu id trong tài liệu
Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu
Thứ Bảy, 3 tháng 10, 2020
[tc69][T9/508 Toán học & tuổi trẻ số 508, tháng 10 năm 2019] Cho a,b,c,d là các số thực dương và theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng tăng, công sai m. Chứng minh rằng e^{a^{2}}\left(4 m^{2}+2 m a+1\right)+e^{b^{2}}\cdot 2m a+e^{c^2}\left(2 m^{2}+2 m a\right) < e^{d^{2}}. |
By Vũ Ngọc Thành bản Vàng Pheo, xã Mường So, Phong Thổ, Lai Châu at tháng 10 03, 2020
No comments
Bài viết cùng chủ đề:
@Câu 26. [id1373] (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho dãy số \left( {{u}_{n}} \right)_{n=1}^{+\infty } bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện {{u}_{n+2}}\ge \dfrac{2}{5}.{{u}_{n+1}}+\dfrac{3}{5}.{{u}_{n}} , \forall n=1,2,3,... Chứng minh rằng dãy \left( {{u}_{n}} \right) có giới hạn hữu hạn. @Câu 26. [id1373] (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho dãy số \left( {{u}_{n}} \right)_{n=1}^{+\infty } bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện ${{u}_{n+2}}\ge \dfrac{2}{5}.{{u}_{n+1}}+\dfrac{3}{5}.{{u}_… Read More
@Câu 56. [id1403] (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Tìm giá trị của m để \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{mx-m+1}-1}{x-1}=2. @Câu 56. [id1403] (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Tìm giá trị của m để \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{mx-m+1}-1}{x-1}=2. A. m=-4. B. m=2. C. m=0. D. m=4. Xem lời giải Xem toàn bộ đề bà… Read More
@Câu 41. [id1388] (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Tìm \lim \dfrac{\sqrt{{{n}^{2}}+n}-n}{\sqrt{4{{n}^{2}}+3n}-2n} . @Câu 41. [id1388] (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Tìm \lim \dfrac{\sqrt{{{n}^{2}}+n}-n}{\sqrt{4{{n}^{2}}+3n}-2n} . Xem lời giải Xem toàn bộ đề bài tài liệu … Read More
@Câu 18. [id1365] (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho dãy số thực \left( {{x}_{n}} \right) thỏa mãn điều kiện \left\{ \begin{align} & 0 < {{x}_{n}} < 1 \\ & {{x}_{n+1}}\left( 1-{{x}_{n}} \right)\ge \dfrac{1}{4} \\ \end{align} \right.,\forall n=1,2,3,... a) Chứng minh rằng {{x}_{n}} > \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n},\forall n=1,2,3,... b) Tìm giới hạn của dãy \left( {{x}_{n}} \right) . @Câu 18. [id1365] (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho dãy số thực \left( {{x}_{n}} \right) thỏa mãn điều kiện $\left\{ \begin{align} & 0 {{x}_{n}} 1 \\ & {{x}_{n+1}}\left( 1-{{x}_{n}} \right)\ge \dfrac{1}{4} \\ \end{… Read More
@Câu 21. [id1521] (HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 2. Cho dãy số \left( {{u}_{n}} \right) được xác định bởi: {{u}_{1}}=a,\,{{u}_{2}}=b,{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}({{u}_{n-1}}+{{u}_{n-2}}) với mọi n\ge 3(a,b là số thực). Tìm giới hạn của dãy số \left( {{u}_{n}} \right) theo a và b. @Câu 21. [id1521] (HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017) 2. Cho dãy số \left( {{u}_{n}} \right) được xác định bởi: {{u}_{1}}=a,\,{{u}_{2}}=b,{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}({{u}_{n-1}}+{{u}_{n-2}}) với mọi n\ge 3(a,b là số th… Read More
0 nhận xét:
Đăng nhận xét