Bài 4. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng ( xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô xuất phát.
Lời giải
Tác giả: Nhóm 4 - Tổ 8 nhóm toán team toán vd - vdc
Mỗi bước đi quân vua có thể đi đến 8 ô xung quanh, từ đó suy ra số phần tử của không gian mẫu là n\left( \Omega \right)={{8}^{3}}.
Cách 1.
Gắn hệ trục Oxy vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ \left( x;y \right). Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm \left( x;y \right) đến điểm có tọa độ \left( x+{{x}_{0}};y+{{y}_{0}} \right) trong đó {{x}_{0}};{{y}_{0}}\in \left\{ -1;0;1 \right\};{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}\ne 0. Ví dụ nếu {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0 thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, {{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=-1thì di chuyển xuống ô đường chéo.
Giả sử tọa độ ban đầu là \left( 0;0 \right), thế thì sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}};{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}} \right);{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}\in \left\{ -1;0;1 \right\}. Để về vị trí ban đầu thì \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=0 \\ & {{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}=0 \\ \end{array} \right. . Suy ra các bộ \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}} \right\} và \left\{ {{y}_{1}};{{y}_{2}};{{y}_{3}} \right\} là một hoán vị của \left\{ -1;0;1 \right\} .
+) \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}} \right\} có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}} \right\} có 4 cách chọn \left\{ {{y}_{1}};{{y}_{2}};{{y}_{3}} \right\} vì \left( {{x}_{i}};{{y}_{i}} \right),i=\overline{1;3} không đồng thời bằng 0.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là p=\dfrac{24}{{{8}^{3}}}=\dfrac{3}{64} .
Cách 2.
Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3 bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8ô xung quanh ô ban đầu.
Trường hợp 1. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung cạnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH1: 4\times 4\times 1=16 cách.
Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung đỉnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH2: 4\times 2\times 1=8 cách.
Xác suất cần tìm: p=\dfrac{16+8}{{{8}^{3}}}=\dfrac{3}{64}.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét