Câu 4. [HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2019] Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy,$ hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số nguyên) $A,B$ được gọi là “thân thiết” với nhau nếu $A,B$ khác $O$ và $-1\le \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\le 1$ với $O$ là gốc tọa độ. a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên $M(x,y)$ với $\left| x \right|\le 19,\left| y \right|\le 19$ thỏa mãn điểm $M$ và điểm $N(3;7)$ “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nguyên đôi một “thân thiết” với nhau?

Câu 4. [HSG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2019] Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy,$ hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số nguyên) $A,B$ được gọi là “thân thiết” với nhau nếu $A,B$ khác $O$ và $-1\le \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\le 1$ với $O$ là gốc tọa độ.
a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên $M(x,y)$ với $\left| x \right|\le 19,\left| y \right|\le 19$ thỏa mãn điểm $M$ và điểm $N(3;7)$ “thân thiết” với nhau?
b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nguyên đôi một “thân thiết” với nhau?
Lời giải
a) Ta có điều kiện $-1\le 3x+7y\le 1$ nên có ba trường hợp:
(1) Nếu $3x+7y=0$ thì $(x,y)=(-7t,3t)$ với $t\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn. Xét hệ ràng buộc sau
$\left\{ \begin{align} & -19\le -7t\le 19 \\ & -19\le 3t\le 19 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le t\le 2$ và $t\ne 0$ nên có tất cả $4$ điểm.
(2) Nếu $3x+7y=1$ thì $(x,y)=(-2+7t,1-3t)$ với $t\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn. Xét hệ ràng buộc $\left\{ \begin{align} & -19\le -2+7t\le 19 \\ & -19\le 1-3t\le 19 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le t\le 3$ nên có tất cả $6$ điểm.
(3) Nếu $3x+7y=-1$ thì $(x,y)=(2+7t,-1-3t)$ với $t\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn. Xét hệ ràng buộc $\left\{ \begin{align} & -19\le 2+7t\le 19 \\ & -19\le -1-3t\le 19 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -3\le t\le 2$ nên cũng có tất cả $6$ điểm.
Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn là $4+6+6=16.$
b) Gọi điểm đã cho là ${{A}_{i}}({{a}_{i}};{{b}_{i}})$ với ${{a}_{i}},{{b}_{i}}\in \mathbb{Z},i=\overline{1,n}$ và $a_{i}^{2}+b_{i}^{2} > 0.$
Ta có $\left| {{a}_{i}}{{a}_{k}}+{{b}_{i}}{{b}_{k}} \right|\le 1$ với mọi $i\ne k.$ Ta thấy rằng:
- Có tối đa hai điểm thuộc trục $Ox$ là $(1;0)$ và $(-1;0).$
- Có tối đa hai điểm thuộc trục $Oy$ là $(0;1),(0;-1).$
Ta sẽ chứng minh rằng có không quá $2$ điểm không thuộc cả $Ox,Oy$. Giả sử ngược lại rằng có ba điểm như thế thỏa mãn đề bài là ${{A}_{1}}({{a}_{1}},{{b}_{1}}),{{A}_{2}}({{a}_{2}},{{b}_{2}}),{{A}_{3}}({{a}_{3}},{{b}_{3}}).$ Ta có hai trường hợp:
(1) Nếu có hai điểm thuộc cùng một góc phần tư, giả sử là ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ thì các số ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$ cùng dấu, các số ${{b}_{1}},{{b}_{2}}$ cũng cùng dấu nên ${{a}_{1}}{{a}_{2}} > 0,{{b}_{1}}{{b}_{2}} > 0\Rightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}\ge 2$, loại.
(2) Nếu không có điểm nào thuộc cùng một góc phần tư thì phải có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử là ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ thì các số ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$ trái dấu, các số ${{b}_{1}},{{b}_{2}}$ cũng trái dấu nên ${{a}_{1}}{{a}_{2}} < 0,{{b}_{1}}{{b}_{2}} < 0\Rightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}\le -2$, không thỏa.
Do đó, điều giả sử là sai, tức là tổng cộng có không quá $6$ điểm thỏa mãn đề bài.
Ta có ${{A}_{1}}(0;1),{{A}_{2}}(0;-1),{{A}_{3}}(1;0),{{A}_{4}}(-1;0),{{A}_{5}}(1;1),{{A}_{6}}(-1;1)$ đôi một “thân thiết”.