Bất đẳng thức trong các đề thi HSG toán 10+11 năm học 2017-2018

Câu 1.(HSG11 - THPT Lê Quý Đôn – 2013 – 2014) Cho ba số dương $a,$ $b,$ $c$thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\le 1$

Câu 2.(OLIMPIC 11 – TP HCM - 2017-2018) Cho các số thực dương $a{}_{1},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}}$ lập thành cấp số cộng và các số thực dương $b{}_{1},{{b}_{2}},{{b}_{3}},{{b}_{4}},{{b}_{5}}$ lập thành cấp số nhân. Biết rằng ${{a}_{1}}={{b}_{1}}$ và ${{a}_{5}}={{b}_{5}}$ .
Chứng minh rằng: ${{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}\ge {{b}_{2}}+{{b}_{3}}+{{b}_{4}}.$

Câu 3.Xét các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2.$
Chứng minh: $x+y+2{{z}^{2}}\ge 6.$ Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 4.(HSG10_OLYMPIC THÁNG 4 ĐỒNG_NAI_2017-2018)Xét các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$
Chứng minh rằng: $x+y+2{{z}^{2}}\ge 6.$ Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào ?

Câu 5.(HSG 11 trường THPT Sông Lô– Vĩnh Phúc 2012-2013)
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác và thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1=2\left( ab+bc+ca \right)$ . Chứng minh rằng:
${{\left( a+b-c \right)}^{4}}+{{\left( b+c-a \right)}^{4}}+{{\left( a+c-b \right)}^{4}}\ge \dfrac{1}{3}$ .

Câu 6.(HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Chứng minh: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\ge {{a}^{2}}\sqrt{bc}+{{b}^{2}}\sqrt{ac}+{{c}^{2}}\sqrt{ab}$; $a$, $b$, $c > 0$.

Câu 7.(HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho ba số thực dương $a,b,c$thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$\dfrac{{{a}^{2}}}{a+2{{b}^{2}}}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+2{{c}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{c+2{{a}^{2}}}\ge 1$ .

Câu 8.[HSG11-QUỲNH LƯU-11-12] Cho $\left\{ \begin{align}
& x,y,z > 0 \\
& x+y+z=xyz \\
\end{align} \right.$
Chứng minh rằng $\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{y}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{z}^{2}}+1}}\le \dfrac{3}{2}$

Câu 9.(HSG CẤP TỈNH - THANH HÓA- 2017-2018) Cho $x,y,z$ là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng $\dfrac{x+y}{{{(x-y)}^{2}}}+\dfrac{y+z}{{{(y-z)}^{2}}}+\dfrac{z+x}{{{(z-x)}^{2}}}\ge \dfrac{9}{x+y+z}.$

Câu 10.Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a+1}{1+{{b}^{2}}}+\dfrac{b+1}{1+{{c}^{2}}}+\dfrac{c+1}{1+{{a}^{2}}}\ge 3$

Câu 11.(HSG Lớp 10 – SGD Hà Tĩnh - Năm 2016 - 2017) Cho$a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc\ge 4$.

Câu 13.(HSG11 – THPT Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa – 2014 – 2015) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ . Chứng minh rằng: $xy+yz+zx\ge 3+\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{y}^{2}}+1}+\sqrt{{{z}^{2}}+1}$ .

Câu 14.(HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Cho $a;b;c$ là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng
$\dfrac{{{(a+b-c)}^{3}}}{3c}+\dfrac{{{(b+c-a)}^{3}}}{3a}+\dfrac{{{(c+a-b)}^{3}}}{3b}\ge 1$

Câu 15.(HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ . Chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{3a+5b}+\sqrt[3]{3b+5c}+\sqrt[3]{3c+5a}\le 6.$

Câu 16.(HSG10_Sở GD&ĐT_ĐỒNG NAI _2013-2014)Cho các số thực $a,b,c$thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh
$\dfrac{a}{a+6bc}+\dfrac{b}{b+6ac}+\dfrac{c}{c+6ba}\ge 1$

Câu 17.(HSG trường THPT Nga Sơn-Thanh Hóa 2017-2018) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$. Chứng minh rằng
$\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+1}}+\dfrac{{{b}^{3}}}{\sqrt{{{c}^{2}}+1}}+\dfrac{{{c}^{3}}}{\sqrt{{{c}^{2}}+1}}\ge \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Câu 18.(HSG10_SỞ GD&ĐT_QUẢNG NAM_2016-2017)Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $H=\dfrac{y}{{{x}^{2}}+2y+3}+\dfrac{z}{{{y}^{2}}+2z+3}+\dfrac{x}{{{z}^{2}}+2x+3}$ .

Câu 19.(HSG 11 – Vĩnh Phúc 2014-2015) Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,\,\,b$ ta có bất đẳng thức sau: ${{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 \right)\ge \left( a+b \right)\left( ab-1 \right)$ .

Câu 20.[HSG11-VĨNH PHÚC-14-15]Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,\,\,b$ ta có bất đẳng thức sau: ${{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2 \right)\ge \left( a+b \right)\left( ab-1 \right)$ .

Câu 22.(Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho ba số thực dương $x,y,z$. Chứng minh $\dfrac{2}{x+1+\dfrac{1}{2}\left( y+z \right)}\le \dfrac{1}{x+y+1}+\dfrac{1}{x+z+1}$.

Câu 23.(HSG11 Quỳnh Lưu II – Nghệ An - 2011 - 2012) Cho $\left\{ \begin{matrix}
x,y,z > 0 \\
x+y+z=xyz \\
\end{matrix} \right.$ CMR:$\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{y}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{z}^{2}}+1}}\le \dfrac{3}{2}$

Câu 24.(HSG10_SỞ GD&ĐT_HÀ TĨNH _2016-2017)
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc\ge 4$.

Câu 25.Cho $n$ số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},...,{{a}_{n}}\in \left[ 0;1 \right]$ . Chứng minh rằng
$\left( 1+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+...+{{a}_{n}} \right)\ge 4\left( a_{_{1}}^{2}+a_{2}^{2}+a_{_{3}}^{2}+a_{_{4}}^{2}+...+a_{_{n}}^{2} \right)$ .

Câu 26.(HSG BÌNH ĐỊNH -2013-2014) Cho $n$ số : ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},......{{a}_{n}}\in \left[ 0;1 \right]$ Chứng minh rằng:
${{\left( 1+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+......+{{a}_{n}} \right)}^{2}}\ge 4\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+.......+a_{n}^{2} \right)$

Câu 27.Cho hai số $x$, $y$ thoả mãn ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của $M=4{{x}^{2}}-3xy+2{{y}^{2}}$.

Câu 28.Cho $a$, $b$, $c > 0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{2a}{{{a}^{2}}+1}+\dfrac{2b}{{{b}^{2}}+1}+\dfrac{2c}{{{c}^{2}}+1}\le \dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{b}^{2}}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{c}^{2}}+1}}$ .

Câu 29.(HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017) Cho các số thực $x\ ,\ y\ ,\ z$ không âm đôi một phân biệt . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\text{ }\!\![\!\!\text{ }\dfrac{1}{{{(x-y)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(y-z)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(z-x)}^{2}}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ .

Câu 30.Cho tứ diện $ABCD$ vuông ở $D$. Gọi $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma $ lần lượt là góc giữa đường cao $DH$ với
các cạnh $DA,\,DB,\,DC$.
Chứng minh rằng $\dfrac{\cos \alpha +\cos \beta }{{{\cos }^{2}}\gamma }+\dfrac{\cos \beta +\cos \gamma }{{{\cos }^{2}}\alpha }+\dfrac{\cos \gamma +\cos \alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }\ge 6\sqrt{3}$