Câu 1.(HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\dfrac{3}{4} . Chứng minh rằng \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-2\left( x+y+z \right)\ge 3 .
Câu 2.(CHỌN HSG –THPT HẬU LỘC 2017 - 2018) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz . Chứng minh rằng:
xy+xz+yz\ge 3+\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{y}^{2}}+1}+\sqrt{{{z}^{2}}+1} .
Câu 3.(ĐỀ MINH HỌA HSG THANH HÓA 2017-2018) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz .
Chứng minh rằng: xy+yz+zx\ge 3+\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{y}^{2}}+1}+\sqrt{{{z}^{2}}+1} .
Câu 4.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho x,y,z là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng
\dfrac{x+y}{{{(x-y)}^{2}}}+\dfrac{y+z}{{{(y-z)}^{2}}}+\dfrac{z+x}{{{(z-x)}^{2}}}\ge \dfrac{9}{x+y+z}.
Câu 5.(HSG cấp tỉnh Hà Nội 2016-2017) Cho các số thực a,\text{ }b,\text{ }c thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P=\left( a+6 \right)\left( b+6 \right)\left( c+6 \right).
Câu 6.(HSG Cao Bằng 2017-2018) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le 3. Chứng minh rằng:
\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le \dfrac{3}{4}.
Câu 7.(HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\dfrac{{{b}^{2}}}{\left( ab+2 \right)\left( 2ab+1 \right)}+\dfrac{{{c}^{2}}}{\left( bc+2 \right)\left( 2bc+1 \right)}+\dfrac{{{a}^{2}}}{\left( ac+2 \right)\left( 2ac+1 \right)}\ge \dfrac{1}{3}.
Câu 8.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018) Cho a và b là hai số thực dương. Chứng minh rằng {{\left( a+b \right)}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge 8{{a}^{2}}{{b}^{2}}.
Câu 9.Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng:
\dfrac{{{x}^{2}}}{y+z}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+x}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+y}\ge \dfrac{x+y+z}{2}\ge \dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{yz}{y+z}+\dfrac{zx}{z+x}.
Câu 10.(HSG¬ K12 Bình Thuận 2016 2017) Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng: \dfrac{{{x}^{2}}}{y+z}+\dfrac{{{y}^{2}}}{z+x}+\dfrac{{{z}^{2}}}{x+y}\ge \dfrac{x+y+z}{2}\ge \dfrac{xy}{x+y}+\dfrac{yz}{y+z}+\dfrac{zx}{z+x}.
Câu 11.(HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015) Cho x,\,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=2xyz.
Chứng minh rằng: \sqrt{\dfrac{x}{2{{y}^{2}}{{z}^{2}}+xyz}}+\sqrt{\dfrac{y}{2{{z}^{2}}{{x}^{2}}+xyz}}+\sqrt{\dfrac{z}{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+xyz}}\le 1 .
Câu 12.(HSG12 cấp tỉnh HÒA BÌNH 2017-2018) Cho x,y,z là số thực thỏa mãn x > y > z > 0 và x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức P=\dfrac{1}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( y-z \right)}^{2}}}+\dfrac{8}{xz}+\dfrac{2}{{{y}^{3}}}.
Câu 13.(HSG12 cấp tỉnh GIA LAI 2014-2015)
Cho x,\,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=2xyz.
Chứng minh rằng: \sqrt{\dfrac{x}{2{{y}^{2}}{{z}^{2}}+xyz}}+\sqrt{\dfrac{y}{2{{z}^{2}}{{x}^{2}}+xyz}}+\sqrt{\dfrac{z}{2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+xyz}}\le 1 .
Câu 14.(HSG cấp tỉnh Hưng Yên 2017-2018) Cho tam giác ABC nhọn.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T=\left( \cos A+\sqrt{{{\cos }^{2}}A+2} \right)\left( \cos B+\sqrt{{{\cos }^{2}}B+2} \right)\left( \cos C+\sqrt{{{\cos }^{2}}C+2} \right) .
Câu 15.[HSGBẮC NINH – 2016 – 2017]Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}. Chứng minh rằng {{a}^{a}}{{b}^{b}}{{c}^{c}}\le 1.
Câu 16.(HSG cấp tỉnh tp Đà Nẵng 2017-2018) Cho các số thực a , b thay đổi nhưng luôn thỏa a\sqrt{2-{{b}^{2}}}+b\sqrt{2-{{a}^{2}}}=2 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P={{\left( a+b \right)}^{3}}-12\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)+\sqrt{ab} .
Câu 17.(HSG K12 Cao Bằng 2016 – 2017) Cho hai số thực x, y không âm thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{x}{y+1}+\dfrac{y}{x+1}.
Câu 18.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho a,\,b,\,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+a+1}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+b+1}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+c+1}.
Câu 19.(HSG cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho a, b, clà các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\dfrac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+a+1}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+b+1}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+c+1}\cdot
Câu 20.(HSG CẤP TỈNH TOÁN 12 – NH 16-17 THANH HÓA) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz+x+z=y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\dfrac{2}{{{x}^{2}}+1}-\dfrac{2}{{{y}^{2}}+1}-\dfrac{4z}{\sqrt{{{z}^{1}}+1}}+\dfrac{3z}{\left( {{z}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{z}^{2}}+1}}.
Câu 21.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2017-2018) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab\ge 1 và c(a+b+c)\ge 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\dfrac{b+2c}{1+a}+\dfrac{a+2c}{1+b}+6\ln (a+b+2c).
Câu 22.( HSG TPHCM 2016-2017)
Trên đoạn \left[ 1\,;\,4 \right] , các hàm số f\left( x \right)={{x}^{\,2}}+px+q ; g\left( x \right)=x+\dfrac{4}{{{x}^{\,2}}} có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm. Tìm giá trị lớn nhất của f\left( x \right) trên đoạn này.
Câu 23.(HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017)
Tìm tất cả các số thực a,\,b\,\,\,\left( a < b \right) sao cho trên đoạn \left[ a\,;\,b \right] , hàm số f\left( x \right)=\dfrac{13-{{x}^{\,2}}}{2} có giá trị nhỏ nhất là 2a và giá trị lớn nhất là 2b .
Câu 24.( HSG TPHCM 2016-2017)
Tìm tất cả các số thực a , b \left( a < b \right) sao cho trên đoạn \left[ a\,;\,b \right] , hàm số f\left( x \right)=\dfrac{13-{{x}^{\,2}}}{2} có giá trị nhỏ nhất là 2a và giá trị lớn nhất là 2b .
Câu 25.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=\dfrac{8a+3b+4\left( \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc} \right)}{1+{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}.
Câu 26.
Câu 27.(HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz+x+z=y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\dfrac{2}{{{x}^{2}}+1}-\dfrac{2}{{{y}^{2}}+1}-\dfrac{4z}{\sqrt{{{z}^{2}}+1}}+\dfrac{3z}{({{z}^{2}}+1)\sqrt{{{z}^{2}}+1}}.
Câu 28.(HSG LỚP 12 TỈNH VĨNH LONG) Cho x,y là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-xy=1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P=7\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+4{{x}^{2}}{{y}^{2}}.
Câu 29.(HSG Hà Tĩnh 2017-2018) Giả sử hàm số y=f\left( x \right) có đạo hàm là hàm số y=f'\left( x \right); đồ thị của hàm số y=f'\left( x \right) được cho như hình vẽ sau và f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)-2f\left( 2 \right)=f\left( 4 \right)-f\left( 3 \right). Hỏi trong các giá trị f\left( 0 \right), f\left( 1 \right), f\left( 4 \right) giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f\left( x \right) trên đoạn \left[ 0;\,4 \right]?
Câu 30.(HSG tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho các số thực x;y\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right] . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P={{x}^{5}}y+x{{y}^{5}}+\dfrac{6}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-3\left( x+y \right)
Câu 31.(HSG cấp tỉnh Sơn La 2017-2018) Cho các số thực dương a,\,b,\,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:P=\dfrac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\dfrac{3}{\sqrt{a+b+c}}
Câu 32.[SỞ GD&ĐT HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 LỚP 12] Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn 0 < {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{\left( z+x \right)}^{2}}\le 18.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P={{4}^{\dfrac{x}{3}}}+{{4}^{\dfrac{y}{3}}}+{{4}^{\dfrac{z}{3}}}+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2017}}+{{y}^{2017}}+{{z}^{2017}} \right)-\dfrac{1}{108}{{\left( x+y+z \right)}^{4}}-2017.
Câu 33.(HSG cấp Thành phố Cần Thơ 2017-2018) Xét các số thực a,b,c thay đổi thuộc đoạn \left[ 1;2 \right] và thỏa mãn a+b+c=4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\dfrac{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}+5{{c}^{2}}+6abc+1}{ab+bc+ca}-abc.
Câu 34.(HSG cấp tỉnh Thừa Thiên Huế 2017-2018) Cho các số thực x;y\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right] . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P={{x}^{5}}y+x{{y}^{5}}+\dfrac{6}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}-3\left( x+y \right)
Câu 35.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=2x+\sqrt{4-{{x}^{2}}} . Khi đó tổng \left( {{m}^{2}}+{{M}^{2}} \right) là
A. 40 .
B. 32 .
C. 24 .
D. 36 .
Câu 36.(HỌC SINH GIỎI QUẢNG NGÃI 2016-2017) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn \left[ 1;\,9 \right] và x\ge y,\,x\ge z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{y}{10y-x}+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x} \right).
Câu 37.(HSG cấp tỉnh Hà Nam 2016-2017) Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn
0 < {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{\left( z+x \right)}^{2}}\le 18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P={{4}^{\dfrac{x}{3}}}+{{4}^{\dfrac{y}{3}}}+{{4}^{\dfrac{z}{3}}}+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2017}}+{{y}^{2017}}+{{z}^{2017}} \right)-\dfrac{1}{108}{{\left( x+y+z \right)}^{4}}-2017.
Câu 38.(HSG cấp tỉnh lớp 12 Hòa Bình2016-2017)
a) Chứng minh rằng 3{{x}^{4}}+1\ge 4{{x}^{3}} với mọi giá trị của x.
b) Cho các số thực dương x,y,z.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=\dfrac{3{{x}^{4}}+4{{y}^{3}}+16{{z}^{3}}+1}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}.
Câu 39.(HSG Quảng Ngải 16-17) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn \left[ 1;\,9 \right] và x\ge y,\,x\ge z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{y}{10y-x}+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x} \right).
Câu 40.(HSG cấp tỉnh Bắc Giang 2016-2017) Cho các số thực x,y,z không âm đôi một phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\left[ \dfrac{1}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( y-z \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( z-x \right)}^{2}}} \right]
Câu 41.(HSG cấp tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \ln \left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)-2\ln \left( 3a \right)=9{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\dfrac{2\left( b+c \right)}{a}+\dfrac{5{{a}^{2}}-1}{2{{a}^{3}}}.
Câu 42.(HSG lớp 12 Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017)
Cho a, b, c là các số thực dương và a.b.c=1, thỏa mãn: {{a}^{3}}b+{{b}^{3}}a+\dfrac{1}{ab}=ab+2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\dfrac{1}{1+{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{1+{{b}^{2}}}-\dfrac{3}{1+2c}.
Câu 43.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
\left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-{{y}^{3}}+3{{y}^{2}}-3x-2=0 \\ & {{x}^{2}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}-3\sqrt{2y-{{y}^{2}}}+m=0 \\ \end{align} \right.\text{ }\left( x,\text{ }y\in \mathbb{R} \right).
Câu 44.(HSG Quảng Nam 2016 2017) Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểuthức H=\dfrac{y}{{{x}^{2}}+2y+3}+\dfrac{z}{{{y}^{2}}+2z+3}+\dfrac{x}{{{z}^{2}}+2x+3} .
Câu 45.(HSG cấp tỉnh Long An 2016-2017) Cho ba số thực dương x,\,y,\,z thỏa mãn: \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge 2.
Tìm giá trị lớn nhất của P=xyz.
Câu 46.(HSG cấp thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017)
Trên đoạn \left[ 1\,;\,4 \right] , các hàm số f\left( x \right)={{x}^{\,2}}+px+q ; g\left( x \right)=x+\dfrac{4}{{{x}^{\,2}}} có cùng giá trị nhỏ nhất và đạt tại cùng một điểm. Tìm giá trị lớn nhất của f\left( x \right) trên đoạn này.
Câu 47.(HSG cấp tỉnh Ninh Bình 2017-2018) (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=\,\,\dfrac{{{a}^{3}}}{{{b}^{2}}+3}+\dfrac{{{b}^{3}}}{{{c}^{2}}+3}+\dfrac{{{c}^{3}}}{{{a}^{2}}+3}.
Câu 48.Cho các số thực a,\text{ }b,\text{ }c thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P=\left( a+6 \right)\left( b+6 \right)\left( c+6 \right).
Câu 49.[HSG12 Hà Nội – năm 2017-2018] Cho các số thực a,\text{ }b,\text{ }c thỏa mãn {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=27. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P=\left( a+6 \right)\left( b+6 \right)\left( c+6 \right).
Câu 50.(HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018) Cho x > 0,y > 0 thỏa {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+4=\dfrac{6}{xy}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{1}{1+2x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{3-2xy}{5-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}.
Câu 51.(HSG cấp tỉnh Hải Phòng 2016-2017) Cho các số thực không âm x,\text{ }y,\text{ }z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\dfrac{x-2}{3-y-z}+\dfrac{y-2}{3-z-x}+\dfrac{z-2}{3-x-y}+2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+xy+yz+zx.
Câu 52.(HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018)
Cho a, b, c, d là các số thực không âm và có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\left( 1+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}{{d}^{2}} \right)
Câu 53.( HSG 12 cấp tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}y+{{y}^{3}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}z+{{z}^{3}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{z}^{2}}x+{{x}^{3}}}+\dfrac{27}{4}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right).
Câu 54.[ THANH HÓA](2.0 điểm) . Cho ba số thực dương x,\,\,y,\,\,z thỏa mãn x+y+1=z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{{{x}^{3}}}{x+yz}+\dfrac{{{y}^{3}}}{y+zx}+\dfrac{{{z}^{3}}}{z+xy}+\dfrac{14}{\left( z+1 \right)\sqrt{1+x+y+xy}}.
Câu 55.(HSG cấp tỉnh Đồng Tháp 2016-2017) Cho x,\,y,\,z là các số thực dương. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}y+{{y}^{3}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}z+{{z}^{3}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{z}^{2}}x+{{x}^{3}}}+\dfrac{27}{4}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right).
Câu 56.Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn y+z=x\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( z+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{4}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)\left( z+1 \right)}.
Câu 57.[HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017] Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn y+z=x\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( y+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( z+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{4}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)\left( z+1 \right)}.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét