Giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong các đề thi học sinh giỏi toán 10+11 năm học 2017-2018

Câu 1.(HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy 1 – Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho $x,y > 0$ thỏa mãn ${{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=x+y+3xy.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\dfrac{{{\left( 1+2xy \right)}^{2}}-3}{2xy}$.

Câu 2.[HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016]Cho ba số thực dương thay đổi $a$, $b$ , $c$thỏa mãn:
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$.
Tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức
$P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+\dfrac{1}{abc}$.

Câu 3.(HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Xét phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{8{{a}^{2}}-6ab+{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}-2ab+ac}$

Câu 4.(HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\sqrt{x+4}+\sqrt{y-8}=\dfrac{x+y}{3}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $S=x+y$.

Câu 5.(HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=\sin (2018x)-2c\text{o}{{\text{s}}^{2}}(1009x)+2017$

Câu 6.(HSG cấp tỉnh Hà Nam) Cho ba số dương $a,b,\,c$ thỏa mãn $ab=1+c\left( a+b \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{a}{1+{{a}^{2}}}+\dfrac{b}{1+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{1+{{c}^{2}}}$.

Câu 7.(HSG 11 – HÀ NAM 2009-2010) Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab=1+c\left( a+b \right)$ .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{a}{1+{{a}^{2}}}+\dfrac{b}{1+{{b}^{2}}}+\dfrac{{{c}^{2}}}{1+{{c}^{2}}}$.

Câu 8.(HSG 11 – VĨNH PHÚC 2010-2011) Giả sử $A$ , $B$ , $C$ , $D$ lần lượt là số đo các góc $\widehat{DAB}$ , $\widehat{ABC}$ , $\widehat{BCD}$ , $\widehat{CDA}$ của tứ giác lồi $ABCD$ bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=-\sin \dfrac{A}{3}+\sin B+\sin C+\sin D$ .

Câu 9.(HSG cấp trường lớp 11 – THPT Trần Phú – Thanh Hóa – 2012 - 2013) Cho $A,\text{ }B,\text{ }C$ là ba góc của tam giác $ABC$ .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $M=\dfrac{{{\sin }^{2}}A+{{\sin }^{2}}B+{{\sin }^{2}}C}{{{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C}$

Câu 10.(HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\dfrac{x}{x+yz}+\dfrac{y}{y+xz}+\dfrac{\sqrt{xyz}}{z+xy}$

Câu 11.(HSG cấp tỉnh Nam Định 2014-2015 – Dự bị)
Cho $a,b,c > 0$thỏa mãn $abc=8$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\dfrac{1}{2a+b+6}+\dfrac{1}{2b+c+6}+\dfrac{1}{2c+a+6}$ .

Câu 12.(HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\left\{ \begin{align}
& a+2b > c \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2=ab+bc+ca \\
\end{align} \right.$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}-\dfrac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}$

Câu 13.Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\dfrac{ab}{{{a}^{2}}+ab+bc}+\dfrac{bc}{{{b}^{2}}+bc+ca}+\dfrac{ca}{{{c}^{2}}+ca+ab}$ .

Câu 14.[ HSG THANH HÓA 2018]Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\dfrac{xy+yz+zx}{{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x}$.

Câu 15.(THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Với $a$,$b$,$c$ là ba số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{\dfrac{bc}{{{a}^{2}}+ab+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{ca}{{{b}^{2}}+ab+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{ab}{{{c}^{2}}+ab+bc+ca}}$.

Câu 16.(HSG 11 trường THPT Thạch Thành III –2017-2018)
Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x > 1$ , $y > 1$ , $z > 1$ . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức $P=\dfrac{x-1}{{{y}^{2}}}+\dfrac{y-1}{{{z}^{2}}}+\dfrac{z-1}{{{x}^{2}}}$ .

Câu 17.Cho các số thực dương $x,\,y,\,z$ thỏa ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$H=\dfrac{y}{{{x}^{2}}+2y+3}+\dfrac{z}{{{y}^{2}}+2z+3}+\dfrac{x}{{{z}^{2}}+2x+3}$

Câu 18.Cho ba số thực dương $x,y,z$thỏa $x+y+z=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
$P=\dfrac{{{\left( 2x+3y+z \right)}^{3}}}{3\sqrt[3]{{{z}^{2}}{{x}^{2}}}+1}+\dfrac{{{\left( 2y+3z+x \right)}^{3}}}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+1}+\dfrac{{{\left( 2z+3x+y \right)}^{3}}}{3\sqrt[3]{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+1}.$

Câu 19.(HSG cấp trường Yên Định 1 2017-2018) 2. Cho $a,b,c\ge 0$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\dfrac{{{a}^{3}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}+\dfrac{{{b}^{3}}}{\sqrt{1+{{c}^{2}}}}+\dfrac{{{c}^{3}}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}$

Câu 20.(Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{1}{2{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+2}+\dfrac{1}{{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+2}+\dfrac{1}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+2{{c}^{3}}+2}$.

Câu 21.(HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – 2012 - 2013) Cho phương trình: ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$. Với $d=1$ , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \dfrac{4}{3}$

Câu 22.(HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\dfrac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+3}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+3}$.

Câu 23.(HSG Khối 10 - Hải Dương - 2017 – 2018) Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\dfrac{ab}{{{a}^{2}}+ab+bc}+\dfrac{bc}{{{b}^{2}}+bc+ca}+\dfrac{ca}{{{c}^{2}}+ca+ab}$