Câu 4.(SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right) < 0$ chứa không quá 9 số nguyên?

Câu 4. (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right) < 0$ chứa không quá 9 số nguyên?
A. $3281$. B. $3283$.
C. $3280$.
D. $3279$.
Lời giải Tác giả:Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch
Chọn C
Điều kiện xác định: $x\in \mathbb{R}$.
Theo yêu cầu của đề ra, ta chỉ xét bài toán trong trường hợp $m$ nguyên dương.
Từ giả thiết $\left( {{3}^{x+2}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right) < 0\Leftrightarrow \left( {{9.3}^{x}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right) < 0$ Vì $m$ nguyên dương nên $2m > \dfrac{\sqrt{3}}{9}$.
Từ đó ta có:
$\left( {{9.3}^{x}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-2m \right) < 0\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{9} < {{3}^{x}} < 2m\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \dfrac{\sqrt{3}}{9} \right) < x < {{\log }_{3}}\left( 2m \right)\Leftrightarrow -\dfrac{3}{2} < x < {{\log }_{3}}\left( 2m \right)$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $T=\left( -\dfrac{3}{2};{{\log }_{3}}\left( 2m \right) \right)$.
Tập nghiệm chứa không quá 9 số nguyên $\Leftrightarrow $ ${{\log }_{3}}\left( 2m \right)\le 8\Leftrightarrow 0 < 2m\le 6561\Leftrightarrow 0 < m\le 3280,5$.
Như vậy có $3280$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn yêu cầu của đề ra.