Dang 3. Phương pháp tích phân từng phần(VDT

Câu 1.(HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả $\displaystyle\int\limits_{1}^{\text{e}}{{{x}^{3}}\ln x\text{d}x}=\dfrac{3{{\text{e}}^{a}}+1}{b}$? A. $a\,.\,b=64$. B. $a\,.\,b=46$. C. $a-b=12$. D. $a-b=4$.

Câu 2.(THPT Nam Tiền Hải-Thái Bình-Lần 2-2018)Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ và thoả mãn $f\left( 2 \right)=16,$ $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=4}$. Tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{x}.{f}'\left( 2x \right)\text{d}x$. A. $I=12$ . B. $I=7$ . C. $I=13$ . D. $I=20$ .

Câu 3.(GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Tính tích phân $I=\displaystyle\int_{0}^{e-1}{x\ln \left( x+1 \right)dx}$ ta được kết quả có dạng $\dfrac{a{{e}^{2}}+b}{c}$, trong đó $a,\,\,b,\,\,c\in \mathbb{Z}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T={{a}^{2}}+2b-3c$. A. $17$. B. $10$. C. $-17$. D. $18$.

Câu 4.(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Biết $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{x}{\text{co}{{\text{s}}^{\text{2}}}x}\text{dx}}=\dfrac{\sqrt{3}}{a}\pi -\ln b$ , với $a,b$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+b$? A. $T=9$. B. $T=13$. C. $T=7$. D. $T=11$.

Câu 5.(Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $A=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{\left( x-1 \right){f}'\left( x \right)\text{d}x}=9$ và $f\left( 2 \right)+f\left( 0 \right)=3$. Tính $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}$ A. $I=12$. B. $I=-12$. C. $I=-6$. D. $I=6$.

Câu 6.(Hậu Lộc Thanh Hóa) Biết $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{x}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x=\dfrac{\sqrt{3}}{a}\pi -\ln b}$. Khi đó, giá trị của ${{a}^{2}}+b$ bằng A. $11$. B. $7$. C. $13$. D. $9$.

Câu 7.(THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Nghiệm dương $a$ của phương trình $\displaystyle\int\limits_{1}^{a}{\left( 2x-1 \right)\ln x\text{d}x=\left( {{a}^{2}}-a \right)\ln a-9}$ thuộc khoảng nào sau đây? A. $\left( 1;3 \right)$ . B. $\left( 3;5 \right)$ . C. $\left( 5;7 \right)$ . D. $\left( 7;10 \right)$ .

Câu 8.(THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Biết rằng $\displaystyle\int{{{e}^{2x}}\cos 3x\text{d}x}={{e}^{2x}}\left( a\cos 3x+b\sin 3x \right)+c$ , trong đó $a$ , $b$ , $c$ là các hằng số, khi đó tổng $a+b$ có giá trị là A. $-\dfrac{5}{13}$ . B. $\dfrac{1}{13}$ . C. $\dfrac{5}{13}$ . D. $-\dfrac{1}{13}$ .

Câu 9.(Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ . Gọi $g\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=\dfrac{x}{x+{{f}^{2}}\left( x \right)}$ . Biết rằng $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x=1}$ và $2g\left( 2 \right)-g\left( 1 \right)=2$ . Tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{{{x}^{2}}}{x+{{f}^{2}}\left( x \right)}}\text{d}x$ bằng A. $1,5$ . B. 1 . C. 3 . D. 2 .

Câu 10.(CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HÒA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ với $f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=1$. Biết rằng $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{\text{e}}^{x}}\left[ f\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \right]\text{d}}x=a\text{e}+b$, $a$,$b\in \mathbb{R}$. Giá trị của biểu thức ${{a}^{2019}}+{{b}^{2019}}$ bằng A. ${{2}^{2018}}+1$. B. $2$. C. $0$. D. ${{2}^{2018}}-1$.

Câu 11.(CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+15} \right)}dx=a+b\ln 3+c\ln 5$ với $a,\,b,\,c\in \mathbb{Q}$. Tính tổng $a+b+c$. A. $1$. B. $\dfrac{5}{2}$. C. $\dfrac{1}{3}$. D. $-\dfrac{1}{3}$.

Câu 12.(Chuyên Thái Bình Lần3) Biết $\displaystyle\int\limits_{\dfrac{1}{12}}^{12}{\left( 1+x-\dfrac{1}{x} \right)}{{e}^{x+\dfrac{1}{x}}}dx=\dfrac{a}{b}{{e}^{\dfrac{c}{d}}}$ trong đó $a,b,c,d$là các số nguyên dương và các phân số $\dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}$ là tối giản. Tính $bc-ad$. A. 12. B. 1. C. 24. D. 64.

Câu 14.(Đoàn Thượng) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,1 \right]$ và $f(0)+f(1)=0$. Biết $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx=\dfrac{1}{2}}$, $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{f}'(x)cos(\pi x)dx=\dfrac{\pi }{2}}$. Tính $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}$. A. $\pi $. B. $\dfrac{3\pi }{2}$. C. $\dfrac{2}{\pi }$ D.$\dfrac{1}{\pi }$

Câu 15.(Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=0$, $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=7$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x}=\dfrac{1}{3}$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng A. $\dfrac{7}{5}$. B. $1$. C. $\dfrac{7}{4}$. D. $4$.

Câu 16.(Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{\sqrt{x}.\sin \sqrt{x}\text{d}x=a{{\pi }^{2}}+b}$ $\left( a,\,\,b\in \mathbb{Z} \right)$, Mệnh đề nào sau đây đúng? A. $\dfrac{a}{b} < -3$. B. ${{a}^{2}}-b=-4$. C. $\dfrac{a}{b}\in \left( -1\,;\,0 \right)$. D. $a-b=6$.

Câu 17.(Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=4$, $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=36$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)\text{d}x}=\dfrac{1}{5}$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng A. $\dfrac{5}{6}$. B. $\dfrac{3}{2}$. C. $4$. D. $\dfrac{2}{3}$.

Câu 18.(Chuyên Vinh Lần 3) Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,2 \right]$ thỏa mãn $f\left( 2 \right)=3$, $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=4$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x}=\dfrac{1}{3}$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng A. $\dfrac{2}{115}$. B. $\dfrac{297}{115}$. C. $\dfrac{562}{115}$. D. $\dfrac{266}{115}$.

Câu 19.(Sở Bắc Ninh 2019) Cho tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{\left( x+2 \right)}\ln \left( x+1 \right)dx=a\ln 2-\dfrac{7}{b}$ trong đó $a,b$ là các số nguyên dương. Tổng $a+{{b}^{2}}$ bằng A. 8. B. 16. C. 12. D. 20.

Câu 20.(Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=4$, $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=5$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)\text{d}x}=-\dfrac{1}{2}$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng A. $\dfrac{15}{19}$. B. $\dfrac{17}{4}$. C. $\dfrac{17}{18}$. D. $\dfrac{15}{4}$.

Câu 21.(Chuyên Vinh Lần 3) . Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,2 \right]$ thỏa mãn $f\left( 2 \right)=6$ $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=7$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{x.f\left( x \right)\text{d}x}=\dfrac{17}{2}$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng A. $8$. B. $6$. C. $7$. D. $5$.

Câu 24.(Chuyên Vinh Lần 3) 6. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,3 \right]$ thỏa mãn $f\left( 3 \right)=6$ $\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=2$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{{{x}^{2}}.f\left( x \right)\text{d}x}=\dfrac{154}{3}$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng A. $\dfrac{53}{5}$. B. $\dfrac{117}{20}$. C. $\dfrac{153}{5}$. D. $\dfrac{13}{5}$.

Câu 25.(Chuyên Vinh Lần 3) 7. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=2$ , $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\text{d}x}=8$ và $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}.f\left( x \right)\text{d}x}=10$. Tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}$ bằng A. $-\dfrac{2}{285}$. B. $\dfrac{194}{95}$. C. $\dfrac{116}{57}$. D. $\dfrac{584}{285}$.

Câu 26.(PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUYÊN-HÀ-TĨNH) Biết $\displaystyle\int\limits_{1}^{\text{e}}{\dfrac{\ln x}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}\text{d}x=\dfrac{a}{\text{e+1}}+b\ln }\dfrac{2}{\text{e+1}}+c$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Tính $a+b+c$. A. $-1$. B. $1$. C. $3$. D. $2$.

Câu 27.(HSG Bắc Ninh) Biết $\displaystyle\int\limits_{0}^{\tfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\ln \left( \operatorname{s}\text{in }x+\cos x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}\text{d}x=\dfrac{a}{b}\ln 2+\dfrac{\pi }{c}$ với $a,\text{ }b,\text{ }c$ là các số nguyên. Khi đó, $\dfrac{bc}{a}$ bằng A. $-6$. B. $\dfrac{8}{3}$. C. $6$. D. $-\dfrac{8}{3}$.

Câu 28.(Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\sin 2x-x\sin x}{{{\cos }^{2}}x}}\text{d}x=\dfrac{\pi \sqrt{2}}{a}+\dfrac{1}{b}\ln \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}+c\ln 2$ (với $a,\,b,\,c$ là các số nguyên). Khi đó $a+b+c$ bằng A. $2$. B. $4$. C. $-1$. D. $1$.

Câu 29.(KỸ-NĂNG-GIẢI-TOÁN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Cho $F(x)=\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f(x)}{x}$ . Biết $f\left( e \right)=\dfrac{1}{2{{e}^{2}}}$, tính tích phân $I=\displaystyle\int\limits_{1}^{e}{\left( {f}'(x)\ln x+\dfrac{{{e}^{\ln x}}}{x} \right)\text{d}x}$ . A. $I=e-\dfrac{1}{2}$. B. $I=e+\dfrac{1}{2}$. C. $I=e$. D. $I=\dfrac{1}{2}-e$.

Câu 30.(THPT-Yên-Mô-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong mặt phẳng, cho đường elip $\left( E \right)$ có độ dài trục lớn là $A{A}'=10$ , độ dài trục nhỏ là $B{B}'=6$, đường tròn tâm $O$ có đường kính là $B{B}'$ (như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay có được bằng cách cho miền hình hình phẳng giới hạn bởi đường elip và được tròn (được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục $A{A}'$. A. $V=36\pi $. B. $V=60\pi $. C. $V=24\pi $. D. $V=\dfrac{20\pi }{3}$.

Câu 31.(Ngô Quyền Hà Nội) Biết $\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{x}{1+\cos 2x}\text{d}x}=a\pi +b\ln 2$ , với $a$ , $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T=16a-8b?$ A. $T=4$. B. $T=5$. C. $T=2$. D. $T=-2$.

Câu 32.(CỤM TRẦN KIM HƯNG -HƯNG YÊN NĂM 2019) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;\,4 \right]$ và thỏa mãn điều kiện $4xf\left( {{x}^{2}} \right)+6f\left( 2x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}$. Tính tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)}\text{d}x$ . A. $I=\dfrac{\pi }{5}$. B. $I=\dfrac{\pi }{2}$. C. $I=\dfrac{\pi }{20}$. D. $I=\dfrac{\pi }{10}$.

Câu 33.( Sở Phú Thọ) Cho tích phân $\displaystyle\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\ln (sinx+2\cos x)}{co{{s}^{2}}x}}dx=a\ln 3+b\ln 2+c.\pi $ (với $a,b,c$ là các số hữu tỉ). Giá trị biểu thức $abc$ bằng. A. $\dfrac{15}{8}$. B. $\dfrac{5}{8}$. C. $\dfrac{5}{4}$. D. $\dfrac{17}{8}$.