HSG tỉnh Hải Phòng vòng 2 ngày 1 năm 2019-2020

Câu 1.(HSG tỉnh Hải Phòng Vòng 2 ngày 1) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho: $f\left( f\left( x \right)-\left( x-y \right)f\left( y \right) \right)=4x-2\left( x-y \right)f\left( y \right)\,\,\,\forall x,y\in \mathbb{R}.$

Câu 2.(HSG tỉnh Hải Phòng Vòng 2 ngày 1) Cho số thực $a$ không âm và dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ xác định như sau: ${{u}_{0}}=a,\,\,\,{{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{8}u_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}{{u}_{n}}+1\,\,\,\forall n\in \mathbb{N}.$ Tìm $a$ để dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Câu 3.(HSG tỉnh Hải Phòng Vòng 2 ngày 1) Cho một dãy gồm 100 ô vuông. Trong mỗi ô vuông ta điền một trong bốn chữ số 2, 0, 1, 9. Hỏi có bao nhiêu cách điền sao cho tổng các số trong 100 ô vuông là một số chia hết cho 4.

Câu 4.(HSG tỉnh Hải Phòng Vòng 2 ngày 1) Cho $ABC$ là tam giác nhọn $\left( AB < AC \right)$ ngoại tiếp đường tròn $\left( I \right).$ $D,\,\,E,\,\,F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $\left( I \right)$ với $BC,\,\,CA,\,\,AB$. $AD$ cắt đường tròn $\left( I \right)$ tại $Q\,\,\left( Q\ne D \right)$. Tiếp tuyến tại $Q$ của đường tròn $\left( I \right)$ cắt $EF$ tại $S.$ a) Chứng minh bốn điểm $S,D,B,C$ thẳng hàng và theo thứ tự lập thành hàng điểm điều hoà. b) Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $DI.$ $AK$ cắt $BC$ tại $M.$ Kẻ $CH\bot AB\,\,\left( H\in AB \right).$ Chứng minh $MH$tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $SHD.$