tuyển tập đề thi chọn hsg toán thpt năm 2020-2021

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Bình Phước vòng 1 năm 2020-2021

Bài 1. Giải phương trình $3 \cos 3x \cdot \cos x - \cos 4x +\sin 2x +1=2\sqrt{2}\sin \left ( x+\dfrac{\pi}{4}\right )$. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}& x^2 +\dfrac{x}{x+1}= (y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)} \\ & \dfrac{x^2}{\sqrt{y+1}} \left(\sqrt{(x+1)(y+1) }+5 \right )\sqrt{x+6}=x^2+4x+9 .\end{array} \right.$ Cho tập $T=\{1;2;3;4;5\}$. Gọi $H$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số đôi một khác nhau thuộc $T$. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc $H$. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng $10$.

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Đắk Lắk năm 2020-2021

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số thực $\left(x;y\right)$ thỏa mãn điều kiện: $$\left\{ \begin{array}{l}&y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\\&4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}\ge 2x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\end{array} \right.$$.

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Tây Ninh, ngày thi thứ hai, năm 2020-2021

Bài 1. Giải hệ phương trình trên tập số thực $\left\{ \begin{array}{l}&2x=y(1-x^2)\quad (1)\\&2y=z(1-y^2)\quad (2)\\&2z=x(1-z^2)\quad (3).\end{array} \right.$

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Hà Tĩnh ngày 1 năm 2020-2021

Bài 1. Cho phương trình $x^n=x+1$. Chứng minh rằng với mỗi $n\in\mathbb{N^*}, n\ge 2$, phương trình có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là $x_n$. Tính giới hạn của dãy số $(u_n)$ với $u_n=n(x_n-1)$. Tìm số thực $k$ sao cho dãy số $v_n=n^k(x_{n+1}-x_n)$ có giới hạn khác $0$.

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Quảng Nam năm 2020-2021

Bài 1. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}&2x^2-x-3+x\sqrt{x^2+1}=(y+1)\sqrt{y^2+2y+2} \\ &x^2+y^2=x-2y+2.\end{array} \right.\]

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Tây Ninh năm học 2020-2021 (ngày 1)

Bài 1. Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực dương và $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của từng biểu thức sau $A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$. $B=\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}$.

Read More

Đề chọn HSG tỉnh Quảng Ninh Ngày 2, năm 2020-2021

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$ f(x+y)-f(x)f(y)=f(xy)-2xy-1, ~\forall x,y\in\mathbb{R}.$$

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Quảng Ninh năm 2020-2021-Ngày 1

Bài 1. Cho các số thực $a, b, c \in[1; 2]$, chứng minh rằng $9 \leq(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) \leq 10$.

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Ninh Bình năm 2020-2021

Bài 1. Giải phương trình: $(2x-4)\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+3}=5x-7+\sqrt{3{{x}^{2}}+7x-6}$. Cho các số thực dương $x,y$. Chứng minh rằng: \[\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{x+3y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+3x}} \right)\le 2.\]

Read More

Đề chọn ĐTQG trường Phổ thông Năng Khiếu năm 2020-2021

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương $ n$, tìm số thực $M_n$ lớn nhất sao cho với mọi số thực dương $ x_1,x_2,\ldots ,x_n$ thì ta đều có $$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k^2}}+\dfrac {1}{\left( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{x_k}\right)^2}\ge M_n\left( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k}}+\dfrac {1}{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{x_k}}\right)^2.$$

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Quãng Nghĩa, ngày 2 năm học 2020-2021

Bài 1. Một số nguyên dương $n$ được gọi là số tạo cấp số nếu nó thỏa mãnđồng thời hai điều kiện sau $n$ có ít nhất $4$ ước nguyên dương $d_1$, $d_2$, $\ldots$, $d_k$ ($k\ge 4$) với $d_1 < d_2 < \ldots < d_k$. Các số $d_2-d_1$, $d_3-d_2$, $\ldots$, $d_k-d_{k-1}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm tất cả các số nguyên dương chẵn là số tạo cấp số Tìm tất cả các số nguyên dương là số tạo cấp số

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Phú Thọ - ngày 2 năm 2020-2021

Bài 1. Cho đường tròn tâm $O$ với hai điểm $B$, $C$ cố định nằm trên đường tròn đó. Điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$ tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $D$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $K$. Đường thẳng $KO$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $DF$ song song với $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $AI$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Phú Thọ năm 2020-2021

Bài 1. Cho $ a,b\in \mathbb{R}, a\ne b.$ Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}&3x+z=2y+\left( a+b \right)\\&3x^2+3xz=y^2+2\left( a+b \right)y+ab\\&x^3+3x^2z=y^2\left( a+b \right)+2yab.\end{array} \right.\]

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Quảng Ngãi năm 2020-2021

Bài 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}&2x+\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+y+2xy+1}=2y+\sqrt{y+1}+1\\&3\sqrt[3]{3y+1}+1=4x^2y.\end{array} \right.$

Read More

Đề HSG 12 tỉnh Nam Định năm 2020-2021, Vòng 2

Bài 1. Xét $x, y, z \in(0 ; 1] .$ Chứng minh rằng $$ \dfrac{36}{\left (2 \sqrt{x}+\sqrt{y}\right )\left (\sqrt{y}+2 \sqrt{z}\right )}+27(x-1)(y-1)(z-1) \geq 4. $$

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Nam Định năm 2020-2021 (Đề 1

Bài 1. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}&x^3+y^2+3x=\left(x^2+x+3 \right)y\\&\sqrt{3y+4}+6x+21=\sqrt{x-2y+5}+3xy. \end{array} \right.\]

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Lâm Đồng năm 2020-2021

Bài 1. Chứng minh rằng $(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \ge 9(xy+yz+zx)$, với mọi $x, y, z > 0$.

Lời giải

Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số $xy-1$, $yz-1$, $zx-1$ tồn tại hai số không trái dấu, chẳng hạn $xy-1$, $yz-1$. Khi đó $(xy-1)(yz-1) \ge 0 \Leftrightarrow xy^2z+1 \ge xy+yz$.
Do đó $x^2y^2z^2+y^2+2 \ge 2(xy^2z+1) \ge 2(xy+yz)$.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại
$x^2y^2z^2+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4(x^2+y^2+z^2)+8 \ge 9(xy+yz+zx)$.
Ta có

• $x^2y^2z^2+y^2+2 \ge 2(xy^2z+1) \ge 2(xy+yz)$. $(1)$
• $3(x^2+y^2+z^2) \ge 3(xy+yz+zx)$. $(2)$
• Vì $x^2y^2+1 \ge 2xy$ nên $2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+6 \ge 4(xy+yz+zx)$. $(3)$
• $x^2+z^2 \ge 2xz$. $(4)$

Cộng các bất đẳng thức $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ vế theo vế, ta có \[x^2y^2z^2+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4(x^2+y^2+z^2)+8 \ge 9(xy+yz+zx).\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.

Bài 2. Cho hàm số $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{(x-1)^2}$. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có duy nhất một nghiệm trong $\left[ \dfrac{1}{2};1\right]$. Chứng minh dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$, $u_{n+1}=f(u_n), \forall n \in \mathbb{N^*}$ có giới hạn.

Lời giải

1. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ có duy nhất một nghiệm trong $\left[ \dfrac{1}{2};1\right]$.
   Xét hàm số $g(x)=f(x)-x$ thì $g'(x)=f'(x)-1=\dfrac{(x-1)\mathrm{e}^x}{(x+1)^3}-1 < 0, \forall x \in \left[ \dfrac{1}{2};1\right]$.
   Do đó $g(x)$ nghich biến trên $\left[ \dfrac{1}{2};1\right]$.
   Mặt khác ta có $g(\frac{1}{2})=\dfrac{8\sqrt{\mathrm{e}}-9}{18} > 0$, $g(1)=\dfrac{\mathrm{e}-4}{4}$, $g(x)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{2};1\right]$ nên (theo định lý giá trị trung gian) phương trình $g(x)=0$ hay $f(x)=x$ có nghiệm duy nhất trên $\left[ \dfrac{1}{2};1\right]$. %câu b
2. Chứng minh dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$, $u_{n+1}=f(u_n), \forall n \in \mathbb{N^*}$ có giới hạn.
   Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được $u_n \in \left[ \dfrac{1}{2};1\right],\, \forall n \ge 1$.
   Xét hàm số $f \,: \left[ \dfrac{1}{2};1\right] \rightarrow \left[ \dfrac{1}{2};1\right]$ được xác định bởi $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}$.
   Vì $f'(x)=\dfrac{(x-1)\mathrm{e}^x}{(x+1)^3} < 0, \, \forall x \in \left[ \dfrac{1}{2};1\right]$ nên $(u_n)$ có hai dãy con đơn điệu.
   Chứng minh được $(u_{2n+1})$ là dãy giảm và $(u_{2n})$ là dãy tăng.
   Lại có $(u_{2n+1})$ bị chặn dưới và $(u_{2n})$ bị chặn trên nên (theo định lý Weierstrass) chúng ta có giới hạn. Giả sử giới hạn của $(u_{2n+1})$ là $a$, giới hạn của $(u_{2n})$ là $b$ và $a,b \in \left[ \dfrac{1}{2};1\right]$.
   Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}&\dfrac{\mathrm{e}^a}{(a+1)^2}=b\\&\dfrac{\mathrm{e}^b}{(b+1)^2}=a.\end{array} \right.$
   Biến đổi ta được $a-b=\ln \left( \dfrac{a}{b}\right)+2 \ln \left( \dfrac{a+1}{b+1}\right)$.
   Giả sử $a > b$, lập luận được $ab > 1$, mà $a,b \in \left[ \dfrac{1}{2};1\right]$ là vô lý. Lập luận tương tự cho trường hợp $a < b$. Suy ra $a=b$. Vậy dãy $(u_n)$ có giới hạn.
   Lưu ý. Thí sinh có thể chứng minh phương trình $f(f(x))=x$ có duy nhất ngiệm trên $\left[ \dfrac{1}{2};1\right]$ để suy ra $a=b$.
   Hoặc sử dụng định lý Lagrange để chứng minh $(u_n)$ có giới hạn.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Gọi H là hình chiếu của $A$ trên $BC$ và $D$, $E$, $M$ lần lượt là trung điểm $HB$. $HC$, $BC$. Đường tròn $(ABE)$ tâm $I$ cắt $AC$ tại $S$ và đường tròn $(ACD)$ tâm $J$ cắt $AB$ tại $R$. Chứng minh rằng $BC=4IJ$. Trung tuyến đỉnh $H$ của tam giác $AMH$ cắt $RS$ tại $T$, chứng minh rằng các đường thẳng $AT$, $BS$, $CR$ đồng quy.

Read More

Đề chọn ĐTQG tỉnh Hưng Yên ngày 2 năm 2020-2021

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện \[f\left(x+2020f(xy)\right)=f(x)+2020xf(y)\] với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

Read More

Chọn đội tuyển HSG quốc gia Hưng Yên (ngày 1) năm 2020 - 2021

Bài 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l}&a_0=2020\\& a_{n+1}=\dfrac{a^2_n}{1+a_n},\forall n\ge 0\end{array} \right.$. Chứng minh dãy số $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Tính $\left[ a_{1000}\right] $ với $\left[ x\right] $ là phần nguyên của số thực $x$.

Read More