Bài 1. Tìm tất cả các cặp số thực \left(x;y\right) thỏa mãn điều kiện: \left\{ \begin{array}{l}&y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\\&4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}\ge 2x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\end{array} \right. .
|
Ta có: xy-x^2y^2=\dfrac{1}{4}-\left(xy-\dfrac{1}{2}\right)^2\le \dfrac{1}{4} nên \sqrt{xy-x^2y^2}\le \dfrac{1}{2}
Suy ra: y^6+y^3+2x^2\le \dfrac{1}{2}
Do đó \begin{eqnarray*} & &4xy^3+y^3+1\ge y^6+y^3+4x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2} \\& \Leftrightarrow& 1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\ge y^6+4x^2-4xy^3=\left(y^3-2x\right)^2 \end{eqnarray*} Vì 1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\le 0; \left(y^3-2x\right)^2\ge 0 nên ta có hệ phương trình: \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l}&1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}=0\\&y^3-2x=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}&x=0;y=0\\&x=\dfrac{1}{2};y=1\\&x=-\dfrac{1}{2};y=-1\end{array} \right. \end{eqnarray*} Thử lại, chỉ có nghiệm x=-\dfrac{1}{2};y=-1 thỏa mãn.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} thỏa mãn f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right),\forall x,y\in \mathbb{R} và f\left(x^{2020}+yf\left(x\right)\right)=2021xf\left(y\right)+f\left(f\left(x\right)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}. |
Ta có f\left(x^{2020}+yf(x)\right)=2021xf(x)+f\left(f(x)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}. \ \ (1)
- Ta thấy f(x)\equiv 0 thỏa mãn bài toán.
- Xét f(x) không đồng nhất bằng 0.
Thay x=0 vào (1), ta được f\left(yf(0)\right)=f\left(f(0)\right),\forall y\in \mathbb{R}. Ta chứng minh f(0)=0.
Nếu f(0)\ne 0 thì f là hàm hằng. Giả sử f(x)=c,\forall x\in \mathbb{R}.
Thay vào (1) ta được c=0 suy ra f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R} vô lí. Vậy f(0)=0.
Thay x=x_0 vào (1), ta được f\left(x_0^{2020}+yf(x_0)\right)=2021x_0f(y)+f\left(f(x_0)\right),\forall y\in \mathbb{R}.
Do f(x_0)=0 và f nhân tính nên
\left(f\left(x_0\right)\right)^{2020}=2021x_0f(y)+f(0)\Rightarrow 2021x_0f(y)=0,\forall y\in \mathbb{R}\Rightarrow f(y)=0,\forall y\in \mathbb{R}: vô lí.
Vậy f(x)=0\Leftrightarrow x=0.
Với x\ne 0, chọn y=\dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}.
Thay vào (1), ta được \begin{eqnarray*} &&f\left(x^{2020}+f(x)-x^{2020}\right)=2021xf\left(\dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}\right)+f\left(f(x)\right)\\&\Rightarrow&f\left(\dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}\right)=0\Rightarrow \dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}=0\Rightarrow f(x)=x^{2020}. \end{eqnarray*} Thử lại, ta thấy f(x)=x^{2020} không thỏa (1).
Vậy bài toán chỉ có duy nhất một nghiệm hàm là f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}.
Bài 3. Trên hai cạnh AB và AC của \triangle ABC lần lượt lấy hai điểm D và E. Hai điểm M và N chia đoạn thẳng DE thành ba phần bằng nhau. Các đường thẳng AM và AN cắt cạnh BC lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng IK\le \dfrac{1}{3}BC. |
Ta có \dfrac{S_{ABI}}{S_{ADM}}=\dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AI}{AM}; \dfrac{S_{AKI}}{S_{AMN}}=\dfrac{AI}{AM}\cdot\dfrac{AK}{AN};\dfrac{S_{AKC}}{S_{ANE}}=\dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AC}{AE}
Suy ra
\dfrac{S_{ABC}}{S}=\dfrac{S_{ABI}}{S}+\dfrac{S_{AIK}}{S}+\dfrac{S_{AKC}}{S}=\dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AI}{AM}+\dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AK}{AN}+\dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AC}{AE}
Do đó
\begin{eqnarray*}
\dfrac{S_{ABC}}{S}&\ge& 3\sqrt[3]{\dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AC}{AE}}\\
&=&3\sqrt[3]{\left(\dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AK}{AN}\right)^2\cdot \dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AC}{AE}}=3\sqrt[3]{\left(\dfrac{S_{AIK}}{S}\right)^2\cdot \dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}} }
\end{eqnarray*}
Suy ra
\dfrac{S^3_{ABC}}{S^3}
\ge 27\left(\dfrac{S_{AIK}}{S}\right)^2\cdot \dfrac{S_{ABC}}{S}\Rightarrow S_{ABC}\ge 3S \Rightarrow BC\ge 3IK .
Bài 4. Cho tập hợp A=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\} và M=\left\{\dfrac{a_1}{9}+\dfrac{a_2}{9^2}+\dfrac{a_3}{9^3}+\dfrac{a_4}{9^4}|a_i\in A,i=\overline{1,4}\right\}. Sắp xếp các phần tử của tập hợp M thành một dãy số theo thứ tự giảm dần. Hãy tìm số đứng thứ 2020 của dãy số đó. |
Trong hệ thập phân, nếu viết các số từ 6560 trở về số 0 theo thứ tự giảm dần thì số thứ 2020 là 6560-2019=4541=\overline{6205}_{(9)}.
Vậy số cần tìm là \dfrac{6}{9}+\dfrac{2}{9^2}+\dfrac{0}{9^3}+\dfrac{5}{9^4}.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét