Bài 1. Tìm tất cả các cặp số thực $\left(x;y\right)$ thỏa mãn điều kiện: $$\left\{ \begin{array}{l}&y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\\&4xy^3+y^3+\dfrac{1}{2}\ge 2x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\end{array} \right.$$. |
Ta có: $xy-x^2y^2=\dfrac{1}{4}-\left(xy-\dfrac{1}{2}\right)^2\le \dfrac{1}{4}$ nên $\sqrt{xy-x^2y^2}\le \dfrac{1}{2}$
Suy ra: $y^6+y^3+2x^2\le \dfrac{1}{2}$
Do đó \begin{eqnarray*} & &4xy^3+y^3+1\ge y^6+y^3+4x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2} \\& \Leftrightarrow& 1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\ge y^6+4x^2-4xy^3=\left(y^3-2x\right)^2 \end{eqnarray*} Vì $1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\le 0$; $\left(y^3-2x\right)^2\ge 0$ nên ta có hệ phương trình: \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l}&1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}=0\\&y^3-2x=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}&x=0;y=0\\&x=\dfrac{1}{2};y=1\\&x=-\dfrac{1}{2};y=-1\end{array} \right. \end{eqnarray*} Thử lại, chỉ có nghiệm $x=-\dfrac{1}{2};y=-1$ thỏa mãn.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$ và $f\left(x^{2020}+yf\left(x\right)\right)=2021xf\left(y\right)+f\left(f\left(x\right)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$. |
Ta có $f\left(x^{2020}+yf(x)\right)=2021xf(x)+f\left(f(x)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$. \ \ (1)
- Ta thấy $f(x)\equiv 0$ thỏa mãn bài toán.
- Xét $f(x)$ không đồng nhất bằng $0$.
Thay $x=0$ vào (1), ta được $f\left(yf(0)\right)=f\left(f(0)\right),\forall y\in \mathbb{R}$. Ta chứng minh $f(0)=0$.
Nếu $f(0)\ne 0$ thì $f$ là hàm hằng. Giả sử $f(x)=c,\forall x\in \mathbb{R}$.
Thay vào (1) ta được $c=0$ suy ra $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$ vô lí. Vậy $f(0)=0$.
Thay $x=x_0$ vào (1), ta được $f\left(x_0^{2020}+yf(x_0)\right)=2021x_0f(y)+f\left(f(x_0)\right),\forall y\in \mathbb{R}$.
Do $f(x_0)=0$ và $f$ nhân tính nên
$\left(f\left(x_0\right)\right)^{2020}=2021x_0f(y)+f(0)\Rightarrow 2021x_0f(y)=0,\forall y\in \mathbb{R}\Rightarrow f(y)=0,\forall y\in \mathbb{R}$: vô lí.
Vậy $f(x)=0\Leftrightarrow x=0$.
Với $x\ne 0$, chọn $y=\dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}$.
Thay vào (1), ta được \begin{eqnarray*} &&f\left(x^{2020}+f(x)-x^{2020}\right)=2021xf\left(\dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}\right)+f\left(f(x)\right)\\&\Rightarrow&f\left(\dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}\right)=0\Rightarrow \dfrac{f(x)-x^{2020}}{f(x)}=0\Rightarrow f(x)=x^{2020}. \end{eqnarray*} Thử lại, ta thấy $f(x)=x^{2020}$ không thỏa (1).
Vậy bài toán chỉ có duy nhất một nghiệm hàm là $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Bài 3. Trên hai cạnh $AB$ và $AC$ của $\triangle ABC$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$. Hai điểm $M$ và $N$ chia đoạn thẳng $DE$ thành ba phần bằng nhau. Các đường thẳng $AM$ và $AN$ cắt cạnh $BC$ lần lượt tại $I$ và $K$. Chứng minh rằng $IK\le \dfrac{1}{3}BC$. |
Ta có $$\dfrac{S_{ABI}}{S_{ADM}}=\dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AI}{AM}; \dfrac{S_{AKI}}{S_{AMN}}=\dfrac{AI}{AM}\cdot\dfrac{AK}{AN};\dfrac{S_{AKC}}{S_{ANE}}=\dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AC}{AE}$$
Suy ra
$$\dfrac{S_{ABC}}{S}=\dfrac{S_{ABI}}{S}+\dfrac{S_{AIK}}{S}+\dfrac{S_{AKC}}{S}=\dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AI}{AM}+\dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AK}{AN}+\dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AC}{AE}$$
Do đó
\begin{eqnarray*}
\dfrac{S_{ABC}}{S}&\ge& 3\sqrt[3]{\dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AK}{AN}\cdot \dfrac{AC}{AE}}\\
&=&3\sqrt[3]{\left(\dfrac{AI}{AM}\cdot \dfrac{AK}{AN}\right)^2\cdot \dfrac{AB}{AD}\cdot \dfrac{AC}{AE}}=3\sqrt[3]{\left(\dfrac{S_{AIK}}{S}\right)^2\cdot \dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}} }
\end{eqnarray*}
Suy ra
$$\dfrac{S^3_{ABC}}{S^3}
\ge 27\left(\dfrac{S_{AIK}}{S}\right)^2\cdot \dfrac{S_{ABC}}{S}\Rightarrow S_{ABC}\ge 3S \Rightarrow BC\ge 3IK .$$
Bài 4. Cho tập hợp $A=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$ và $M=\left\{\dfrac{a_1}{9}+\dfrac{a_2}{9^2}+\dfrac{a_3}{9^3}+\dfrac{a_4}{9^4}|a_i\in A,i=\overline{1,4}\right\}$. Sắp xếp các phần tử của tập hợp $M$ thành một dãy số theo thứ tự giảm dần. Hãy tìm số đứng thứ $2020$ của dãy số đó. |
Trong hệ thập phân, nếu viết các số từ $6560$ trở về số $0$ theo thứ tự giảm dần thì số thứ $2020$ là $6560-2019=4541=\overline{6205}_{(9)}$.
Vậy số cần tìm là $\dfrac{6}{9}+\dfrac{2}{9^2}+\dfrac{0}{9^3}+\dfrac{5}{9^4}$.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét