Bài 1. Với a, b \in \mathbb{Z}, xét hai dãy đa thức {P_0}(x) = x + a, P_{n + 1}(x) = {P_n}^2(x) + ( - 1)^nn và {Q_0}(x) = x + b,Q_{n + 1}(x) = - Q_n^2(x) + ( - 1)^nn với mọi n \ge 0,\, n \in \mathbb{Z}.
|
Lời giải
- Ta thấy rằng P'_{n + 1}(x)Q'_{n + 1}(x) = - 4P'_n(x)Q'_n(x)P_n(x)Q_n(x). Quy nạp được
P'_{2020}(x)Q'_{2020}(x) = 2^{4040}P_{2019}(x)Q_{2019}(x)P_{2018}(x)Q_{2018}(x)\cdots P_0(x)Q_0(x)P'_0(x)Q'_0(x).Ta có \begin{eqnarray*} P_4(x) &=& [((x + a)^4 - 1)^2 + 2]^2 - 3 \ge 2^2 - 3 > 0;\\ Q_4(x) &=& - [ - ((x + b)^4 + 1)^2 + 2]^2 - 3 \le - 3. \end{eqnarray*}Bằng quy nạp chứng minh được P_n(x) > 0 và Q_n(x) < 0 với mọi n\ge 4.
- Với n=0, ta có
\left\{ \begin{array}{l}&P_0(x)=0\Leftrightarrow x=-a\\ &Q_0(x)=0\Leftrightarrow x=-b.\end{array} \right.
- Với n=1 vì P_1(x) = P_0^2(x),Q_1(x) = Q_0^2(x);
- Với n=2, ta có
\left\{ \begin{array}{l}&P_2(x)=P_1^2(x)-1=0\Leftrightarrow(x+a)^4=1\Leftrightarrow x+a=\pm 1\Leftrightarrow x=-a\pm 1\\ &Q_2(x)=-Q_1^2(x)-1 < 0.\end{array} \right.
- Với n=3, ta có
\begin{eqnarray*}
&&\left\{ \begin{array}{l}&P_3(x)=P_2^2(x)+2 > 0\\ &Q_3(x)=-Q_2^2(x)+2=0\Leftrightarrow Q_2(x)=-\sqrt{2}\Leftrightarrow(x+b)^2=\sqrt{\sqrt{2}-1}\end{array} \right.\\
&\Leftrightarrow& x = - b \pm \sqrt {\sqrt 2 - 1}.
\end{eqnarray*}Vì a\neq b và a-b\neq \pm 1 nên phương trình có 6 nghiệm phân biệt.
- Với n=0, ta có
\left\{ \begin{array}{l}&P_0(x)=0\Leftrightarrow x=-a\\ &Q_0(x)=0\Leftrightarrow x=-b.\end{array} \right.
- Để P_n(x) + Q_n(x) chia hết cho x+2, ta cần có P_n( - 2) + Q_n( - 2) = 0.
Ta xét các trường hợp:- TH1: Với n=0 thì P_0(x) + Q_0(x) = 2x + a + b nên ta cần có a+b=4.
- TH2: Với n=1 thì P_1(x) + Q_1(x) = (x + a)^2 - (x + b)^2 = (a - b)(2x + a + b) nên ta cần có a+b=4 hoặc a=b.
- TH3: Với n=2 thì P_2(x) + Q_2(x) = [P_1(x) - Q_1(x)][P_1(x) + Q_1(x)] - 2.
Do đó ta cần có [P_1( - 2) - Q_1( - 2)][P_1( - 2) + Q_1( - 2)] = 2.
Dễ thấy hai số P_1( - 2) - Q_1( - 2),P_1( - 2) + Q_1( - 2) cùng tính chẵn lẻ nên không thể có đẳng thức trên. - TH4: Với mọi n chẵn và n\ge 4, ta có
P _{2k + 2}(x) + Q_{2k + 2}(x) = 0 \Leftrightarrow [P _{2k + 1}(x) - Q_{2k + 1}(x)][P _{2k + 1}(x) + Q_{2k + 1}(x)] = 2(2k + 1).Với k\in \mathbb{N} .Vì 2(2k+1) chia 4 dư 2 nên đẳng thức không thể xảy ra.
- TH5: Với n=3 thì
P_3(x) + Q_3(x) = [P_2(x) - Q_2(x)][P_2(x) + Q_2(x)] + 4\Rightarrow [P_2( - 2) - Q_2( - 2)][P_2( - 2) + Q_2( - 2)] = -4hay [(a - 2)^4 + (b - 2)^4][(a - 2)^4 - (b - 2)^4 - 2]Do (a - 2)^4 + (b - 2)^4 > (a - 2)^4 - (b - 2)^4 - 2 và chúng cùng tính chẵn lẻ nên ta có hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}&(a-2)^4+(b-2)^4=2\\ &(a-2)^4-(b-2)^4-2=-2\end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}&\left[ \begin{array}{l}&a=3\\ &a=1\end{array} \right.\\ &\left[ \begin{array}{l}&b=3\\ &b=1.\end{array} \right. \end{array} \right.
- TH6: Với n=5 thì
P_5( - 2) + Q_5( - 2) =[P_4( - 2) - Q_4( - 2)][P_4( - 2) + Q_4( - 2)] + 8 = 0\\
\Leftrightarrow [P_3^2( - 2) + Q_3^2( - 2)][P_3^2( - 2) - Q_3^2( - 2) - 6] = - 8
Do P_4( - 2) - Q_4( - 2) = P_3^2( - 2) + Q_3^2( - 2) > P_3^2( - 2) - Q_3^2( - 2) - 6 = P_4( - 2) + Q_4( - 2)và chúng cùng tính chẵn lẻ nên ta có hai hệ sau \left\{ \begin{array}{l}&P_4(-2)-Q_4(-2)=4\\ &P_4(-2)+Q_4(-2)=-2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}&P_4(-2)-Q_4(-2)=2\\ &P_4(-2)+Q_4(-2)=-4.\end{array} \right.Hai hệ này tương đương với hai hệ \left\{ \begin{array}{l}&P_4(-2)=1\\ &Q_4(-2)=-3\end{array} \right.\quad ;\left\{ \begin{array}{l}&P_4(-2)=-1\\ &Q_4(-2)=3.\end{array} \right.Bằng cách thử trực tiếp ta thấy không có a,\,b nguyên thỏa mãn hai hệ đó.
- TH7: Với n\ge 7 và n lẻ, ta đặt n=2k+1 thì k\ge 3. Ta có
\begin{eqnarray*}
P_{2k + 1}(x) &=& P_{2k}^2(x) + 2k = (P_{2k - 1}^2(x) - (2k - 1))^2 + 2k;\\
Q_{2k + 1}(x) &=& - Q_{2k}^2(x) + 2k = - ( - Q_{2k - 1}^2(x) - (2k - 1))^2 + 2k.
\end{eqnarray*}Để P_{2k + 1}( - 2) + Q_{2k + 1}( - 2) = 0 thì [P_{2k}( - 2) - Q_{2k}( - 2)][P_{2k}( - 2) + Q_{2k}( - 2)] = - 4k.Dễ thấy nếu P_{2k}( - 2) + Q_{2k}( - 2) = 0 thì không thỏa mãn nên P_{2k}( - 2) + Q_{2k}( - 2) \ne 0. Chú ý rằng \begin{eqnarray*} P_{2k}( - 2) - Q_{2k}( - 2) &=& P_{2k - 1}^2( - 2) + Q_{2k - 1}^2( - 2)\\ &\ge& P_{2k - 1}^2( - 2) =[P_{2k - 2}^2( - 2) + 2k - 2]^2 \ge (2k - 2)^2 > 4k\,\, \mbox{với}\,\, k\ge 3. \end{eqnarray*}Suy ra |P_{2k}( - 2) + Q_{2k}( - 2)| \ge 1,|P_{2k}( - 2) - Q_{2k}( - 2)| > 4k.nên |P_{2k + 1}( - 2) + Q_{2k + 1}( - 2)| > 4k.Do đó, trong trường hợp này, ta cũng không thể có đẳng thức.
Vậy điều kiện của a,\,b cần tìm là a+b=4 hoặc a=b.
Bài 2. Cho tam giác ABC không cân, đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng AI cắt đường tròn (I) lần lượt tại M, H và cắt EF tại N (M nằm giữa A và I). Tiếp tuyến tại I của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMD cắt DN tại P. Trên đường thẳng PM lấy Q sao cho DQ vuông góc với EF.
|
Lời giải
- Ta có PI là tiếp tuyến của (MID) nên \widehat{PIM}=\widehat{MDI}=\widehat{DMI}\Rightarrow MD\parallel PI.
Do MD\parallel PI mà MD\perp DH nên PI\perp DH.
mà ID=IH. Suy ra PI là trung trực của DH.
PI là trung trực của DH suy ra \widehat{IDN}=\widehat{IHP} (1)
Ta có: NI\cdot AI=FI^2=ID^2\Rightarrow\dfrac{IN}{ID}=\dfrac{ID}{IA}\Rightarrow\triangle IND\sim\triangle IDA (c-g-c)
từ đó ta được \widehat{IAD}=\widehat{IDN} (2)
Từ (1) và (2) Suy ra \widehat{AHP}=\widehat{IAD}\Rightarrow AD\parallel PH. - Gọi G là giao điểm của AD và MQ.
Ta có (ANMH)=-1\Leftrightarrow P(ANMH)=-1.
Vì ba điểm A,G,D thẳng hàng và PH\parallel AD suy ra G là trung điểm của AD.
DQ\perp EF mà AI\perp EF\Rightarrow DQ\parallel AI hay DQ\parallel AM.
Ta có \angle MAG=\angle QDG (so le trong), \angle MAG=\angle QDG;GA=GD.
\Rightarrow\triangle AMG=\triangle DQG (g.c.g) \Rightarrow GM=GQ.
Bài 3. Cho bảng vuông n \times n ô vuông (n\ge 2) với các ô vuông được tô bằng 2 màu đen hoặc trắng (mỗi ô chỉ tô bởi một màu). Biết rằng cứ mỗi bước, ta chỉ được thay đổi màu của toàn bộ các ô trong một hàng hoặc một cột (ô trắng thành đen và ô đen thành trắng).
|
Lời giải
- Xét n=2: Ta quy ước như sau:
- Ô trắng đánh bằng dấu +
- Ô đen đánh bằng dấu -
Mặt khác, trong bảng 2\times 2, khi thay đổi màu hàng hoặc cột thì tích các ô trong cột (hàng) đó sẽ không đổi dấu.
Mà trong bảng có 1 ô mang dấu -, 3 ô mang dấu + suy ra tích các ô luôn mang dấu - dù sau bao nhiêu bước đi nữa. Điều này trái với (1).
Vậy với n=2 thì không thể đổi màu bảng về toàn màu trắng. (2)
Xét n=k > 2, trong bảng k\times k được tô đen 1 ô, ta luôn chọn được một bảng con 2\times 2 sao cho bảng đó chứa ô được tô đen.
Mà theo (2) thì bảng con 2\times 2 đó không thể trở thành bảng toàn màu trắng, suy ra bảng k\times k cũng không thể trở thành toàn màu trắng. - Xét n=2: ta dễ thấy có 8 cấu hình thỏa mãn
Từ câu a, ta suy ra điều kiện cần để toàn bộ các ô của bảng trở thành ô trắng sau hữu hạn bước là mỗi một bảng con 2\times2 nào đó của bảng luôn có chẵn ô đen.
Điều kiện đủ: xét bảng n\times n thỏa mãn bất kỳ một bảng con 2\times 2 nào của bảng luôn có chẵn ô đen, ta chứng minh bảng luôn có thể trở thành bảng toàn ô trắng bằng quy nạp.
Ta có n=2 đúng
Giả sử kết quả đúng đến n, ta chứng minh n+1 cũng đúng.
Nhận xét: vì bảng con 2\times 2 bất kỳ ở cấu hình ban đầu có chẵn ô màu đen nên sau bao nhiêu bước đổi màu thì bảng con 2\times 2 bất kỳ cũng luôn có chẵn ô đen.
Giả sử sau hữu hạn bước, bảng n\times n con của bảng (n+1)\times (n+1) được tô trắng hết khi đó ta có các trường hợp sau \item [TH1:] 2 ô a, b màu đen Sau hữu hạn bước, bảng n\times n thành màu trắng và 2 ô a, b màu đen mà mỗi bảng 2\times 2 đều có chẵn ô đen nên các ô thuộc hàng thứ n+1 và cột thứ n+1 đều phải có màu đen (trừ ô cùng chung cạnh với a và b). Khi đó ta chỉ cần đổi màu hàng thứ n+1 sau đó đổi màu cột thứ n+1 thì ta sẽ được bảng (n+1)\times (n+1) toàn ô trắng. \item 2 ô a, b màu trắng.
Tương tự TH1 ta được hàng và cột thứ n+1 đều màu trắng nên thỏa mãn. \item 2 ô a, b có 1 ô đen và 1 ô trắng, giả sử ô a màu đen, ô b màu trắng (trường hợp còn lại tương tự) Sau hữu hạn bước, bảng n\times n thành màu trắng và 2 ô a, b màu đen, trắng mà mỗi bảng 2\times 2 đều có chẵn ô đen nên ô chung cạnh với a và b phải màu đen, đồng thời các ô còn lại trong hàng chứa ô b phải cùng màu với b; các ô còn lại trong cột chứa a phải cùng màu với a.
Khi đó ta chỉ cần đổi màu hàng (cột) đen thì sẽ được cấu hình thỏa mãn.
Vậy cấu hình n\times n có bảng con 2\times 2 bất kỳ thỏa mãn có chẵn ô đen là cấu hình thỏa mãn.
Từ đó ta có: 1 cấu hình n\times n sẽ tạo thành 4 cấu hình (n+1)\times (n+1) thỏa mãn (do cặp ô a, b có 4 trường hợp màu)
Với n=2 có 8=2^3 cấu hình thỏa mãn \Rightarrow n=3 có 2^3\cdot4=2^5 cấu hình thỏa mãn. Bằng quy nạp ta suy ra với bảng n\times n thì sẽ có 2^{2n-1} cấu hình thỏa mãn.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét