HSG 12 VĨNH PHÚC 2019-2020

@Câu 1. [id655] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+2$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $\left( {{C}_{m}} \right)$ có điểm cực đại cực tiểu cách đều đường thẳng $y=x-1$.

@Câu 2. [id656] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số $y=\dfrac{\cot x-2}{-\cot x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\,\dfrac{\pi }{4} \right)$.

@Câu 3. [id657] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Giải phương trình $8\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}\left( 1 \right)$

@Câu 4. [id658] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng tổng quát ${{u}_{n}}=\ln \left( {{n}^{2}}+2n \right),\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ . Tìm $\lim {{S}_{n}}$ , biết ${{S}_{n}}={{\left( \dfrac{1}{e} \right)}^{{{u}_{1}}}}+{{\left( \dfrac{1}{e} \right)}^{{{u}_{2}}}}+...+{{\left( \dfrac{1}{e} \right)}^{{{u}_{n}}}}$ .

@Câu 5. [id659] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Giải phương trình: $\sqrt{x+4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{12-x-{{x}^{2}}}=x-1+\sqrt{2x+5}$.

@Câu 6. [id660] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Một hộp có $50$ quả cầu được đánh số từ $1$ đến $50$ . Lấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là một số chia hết cho $8$ .

@Câu 7. [id661] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $A{A}'=a$ . Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm cạnh $AB$. Gọi $I$ là trung điểm của ${A}'C$, điểm $S$ thỏa mãn $\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{SI}$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.A{A}'{B}'B$.

@Câu 8. [id662] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Cho tứ diện $ABCD$có $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua trung điểm $I$ của $AG$ và cắt các đoạn $AB,AC,AD$ tại các điểm khác $A$ .Gọi ${{h}_{A}},{{h}_{B}},{{h}_{C}},{{h}_{D}}$ lần lượt là khoảng cách từ các điểm $A,B,C,D$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$. Chứng minh rằng $\dfrac{h_{B}^{2}+h_{C}^{2}+h_{D}^{2}}{3}\ge h_{A}^{2}$

@Câu 9. [id663] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .Điểm $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ . Gọi $M,\text{ N}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB,\text{ AC}$ . Đường tròn $\left( C \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9$ ngoại tiếp tam giác $DMN$ . Gọi $H$ là giao điểm của $BN$ và $CM$ , đường thẳng $AH$ có phương trình $3x-y+10=0$ . Tìm tọa độ điểm $B$ biết $M$ có hoành độ dương, $A$ có hoành độ nguyên.

@Câu 10. [id664] (HSG Vĩnh Phúc 2019-2020) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$ và ${{a}^{3}}b+a{{b}^{3}}+\dfrac{1}{ab}=ab+2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{1}{1+{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{1+{{b}^{2}}}-\dfrac{3}{1+2c}$