Đề chọn ĐTQG tỉnh Đồng Nai năm 2020-2021

Bài 1. Cho dãy số $(u_n)$ có $\left\{ \begin{array}{l}& u_1=-2020\\ & u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{2021n}\end{array} \right.$. Chứng minh rằng, tồn tại $n\in\mathbb{N}$ để $u_n > 0$.

Lời giải

Ta có $u_n=u_1+\dfrac{1}{2021}\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}\right)$, với $n\ge 2$. Ta có

• $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$;
• $\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}$;
• $\dots\dots$;
• $\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{2^k} \dfrac{1}{2^{k}+i} > \dfrac{1}{2}$.
• Với $n > 2^{k+1}$ ta có $\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n \dfrac{1}{i} > 1+\dfrac{k}{2}$. Suy ra $\displaystyle\lim \sum \limits_{i=1}^n \dfrac{1}{i}=+\infty$.
• Từ đó suy ra $\lim u_n = +\infty$. Vậy tồn tại $n\in\mathbb{N}$ để $u_n > 0$.

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $7^x + x^4 + 47 = y^2.$

Lời giải

Nếu $x$ là số lẻ, thì $7^x + x^4 + 47 \equiv 3 \pmod {4},$ nhưng không có số chính phương nào có dạng này, do đó trường hợp này phương trình vô nghiệm.
Nếu $x$ là số chẵn, đặt $x = 2k$ với $k$ là số nguyên dương.
Với $k \geq 4,$ ta có $$(7^k)^2 < 7^{2k} + (2k)^4 + 47 < (7^k + 1)^2.$$ Bất đẳng thức bên phải tương đương $8k^4 + 23 < 7^k$ bất đẳng thức này đúng khi $k \geq 4$ qua chứng minh quy nạp.
Kiểm tra khi $k = 1; 2; 3,$ thì ta thấy $k = 2$ là thỏa mãn.
Vậy $x= 4, y = 52$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $D$ là điểm trên cạnh $AB.$ Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD.$ Tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$ cắt $AC$ tại $E.$ Tiếp tuyến kẻ từ $E$ tới $(O)$ tiếp xúc $(O)$ tại $F$ với $F$ khác $D.$ Gọi $G$ là giao điểm của $BF$ và $DC$, $H$ là giao điểm của $AG$ và $BC.$ Chứng minh $BH = 2 HC.$

Lời giải

Goi $X$, $Y$ là giao điểm của $AC$ với $BF$ và $(O)$.
Ta có $DYFC$ là tứ giác điều hòa.
Qua phép chiếu tâm $B$ ta có $(AX,YC) = -1$.
Do đó $$XY\cdot AC = AY\cdot CX.$$ Ta có: $$\begin{align*} XA\cdot YC& = (AY + YX)\cdot (YX + XC)\\ & = YX\cdot (YX + AY +CX) + AY\cdot CX \\ &= XY\cdot AC + AY\cdot CX\\ & = 2AY\cdot CX \end{align*}$$ } { Áp dụng định lý Cê Va vào tam giác $ABC$, ta có $$\dfrac{HB}{HC} = \dfrac{XA}{XC}\cdot \dfrac{DB}{DA} = \dfrac{XA\cdot YC}{XC\cdot YA} = 2.$$ Do đó $HB = 2\cdot HC$.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm $f\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn $$f\left(a^2f(a)+f(b)\right)=\left(f(a)\right)^3+b$$ với mọi $a,\ b\in \mathbb{Z}$.

Lời giải

Kí hiệu $P(u;v)$ là phép thế $a=u,\ b=v$ vào phương trình hàm đã cho.
$P(0;b)$, ta có $$f(f(b))=\left(f(0)\right)^3+b.$$ Từ đây, suy ra $f$ là song ánh. Do đó, tồn tại $u$ để $f(u)=0$.
$P(u,b)$ ta có $f(f(b))=b$, dẫn tới $$\left(f(0)\right)^3=0\Rightarrow f(0)=0.$$ $P(a,0)$ ta có $f(a^2f(a))=\left(f(a)\right)^3.$ Cho $a=1$ và sử dụng $f(f(b))=b$, ta có $$\left(f(1)\right)^3=f(f(1))=1\Rightarrow f(1)=1.$$ $P(1,f(b))$ ta có $$f(1+b)=1+f(b).$$ Từ đây, bằng quy nạp ta chứng minh được $f(a)=a,\ \forall a\in \mathbb{Z}$.
Thử lại ta thấy hàm $f(a)=a$ thỏa bài toán.
Vậy $f(a)=a\ \forall a\in \mathbb{Z}$ là nghiệm hàm cần tìm.

Bài 5. Bạn Việt làm tổ trưởng một tổ có $5$ thành viên. Bạn phân công trực nhật cho $6$ ngày trong tuần (thứ Hai đến thứ Bảy) thỏa các điều kiện sau Mỗi ngày đều có người trực; Số người trực trong một ngày không được quá hai; Mỗi người trực hai ngày. Hỏi bạn Việt có bao nhiêu cách phân công trực nhật cho tổ?

Lời giải

Ta đánh số $5$ thành viên trong tổ là $1,2,3,4,5$ và thêm một "thành viên" nữa là $6$ (thành viên ảo). Với một cách phân công trực nhật, ta sẽ có một hoán vị của $1,2,3,4,5,6$.
Ví dụ: Ta có

Ở ví dụ này, thứ Năm, bạn $4$ sẽ trực một mình; thứ Bảy, bạn $3$ sẽ trực một mình.
Ta đếm số cách chia 6 số thành 6 cặp 2 số mà mỗi số xuất hiện ở đúng 2 cặp. Ta có thể viết các số trên vòng tròn sao cho hai số cạnh nhau tạo thành 1 cặp.
Trường hợp 1: 6 số tạo thành một vòng tròn.
Cần chú ý là hai vòng tròn mà một vòng đọc theo chiều kim đồng hồ và vòng còn lại đọc ngược chiều kim đồng hồ mà giống nhau thì đó chỉ là một cách chia cặp trực nhật giống nhau.
Ví dụ Theo ví dụ ở trên, ta chia thành $6$ cặp $\{1;2\}, \{2;4\}, \{3;5\}, \{4;6\}, \{5;1\}, \{6;3\}$ thì có thể xếp lên vòng tròn như sau

hoặc

Số cách chia cặp mà ta có thể viết thành vòng tròn có 6 số là $\dfrac{5!}{2}$.
Do $6$ cặp này đều hoàn toàn phân biệt nên với mỗi cách chia cặp như vậy, ta có thể phân công trực nhật trong tuần là $6!$ cách.
Suy ra số cách phân công trực nhật theo trường hợp $1$ là $\dfrac{5!}{2}\cdot 6!=43200$.
Trường hợp 2: Cách chia trực nhật tạo thành một vòng tròn có $4$ số và một vòng tròn có $2$ số.
Số cách chia 6 số thành hai nhóm, một nhóm 4 số, 1 nhóm có 2 số là $\mathrm{C}^4_6=15$.
Với mỗi cách chia thành hai nhóm như vậy, ta sẽ có $\dfrac{3!}{2}=3$ cách chia cặp khác nhau cho nhóm 4 số và 1 cách chia cặp cho nhóm 2 số.
Ứng với một cách chia cặp như vậy ta sẽ có $\dfrac{6!}{2!}=360$ cách xếp vào các ngày trực trong tuần.
Suy ra số cách phân công trực nhật theo trường hợp $2$ là $15\cdot 3\cdot 1\cdot 360=16200$.
Trường hợp 3: Cách chia trực nhật tạo thành hai vòng tròn có $3$ số.
Số cách chia 6 số thành hai nhóm, mỗi nhóm 3 số là $\dfrac{\mathrm{C}^3_6}{2}=10$.
Với mỗi cách chia thành hai nhóm như vậy, ta sẽ có 1 cách chia cặp cho mỗi nhóm. Với mỗi cách chia cặp như vậy, ta sẽ có $6!=720$ cách xếp vào các ngày trực trong tuần (do các cặp hoàn toàn phân biệt).
Suy ra số cách phân công trực nhật theo trường hợp $3$ là $10\cdot 1\cdot 1\cdot 720=7200$.
Trường hợp 4: Cách chia trực nhật tạo thành ba vòng tròn có $2$ số.
Số cách chia 6 số thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 2 số là $\dfrac{\mathrm{C}_6^2\cdot \mathrm{C}_4^2}{3!}=15$.
Với mỗi cách chia thành ba nhóm như vậy, ta sẽ có 1 cách chia cặp cho mỗi nhóm.
Với mỗi cách chia cặp như vậy, ta sẽ có $\dfrac{6!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=90$ cách xếp vào các ngày trực trong tuần.
Suy ra số cách phân công trực nhật theo trường hợp $3$ là $15\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 90=1350$.
Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là $$43200 + 16200 + 7200 + 1350 = 67950.$$