Bài 1. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}&2x+\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+y+2xy+1}=2y+\sqrt{y+1}+1\\&3\sqrt[3]{3y+1}+1=4x^2y.\end{array} \right. |
Lời giải
Điều kiện: x\ge-\dfrac{1}{2} và y\ge -1.Ta có \begin{eqnarray*} &&2x+\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+y+2xy+1}=2y+\sqrt{y+1}+1\\ &\Leftrightarrow&\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{y+1} \right)\left( 2\sqrt{y+1}+\sqrt{2x+1}+1\right)=0\\ &\Leftrightarrow &\sqrt{2x+1}-\sqrt{y+1}=0\\ &\Leftrightarrow& y=2x. \end{eqnarray*} Thay vào 3\sqrt[3]{3y+1}+1=4x^2y ta được 6x+1+3\sqrt[3]{6x+1}=(2x)^3+3(2x).
Trong khi đó hàm số y=t^3+2t là hàm đồng biến trên \mathbb{R} nên suy ra \sqrt[3]{6x+1}=2x hay 4x^3-3x=\dfrac{1}{3}.
Với x > 1 suy ra 4x^3-3x=x^3+3x(x^2-1) > 1 nên phương trình vô nghiệm.
Với -\dfrac{1}{2}\le x\le 1 ta đặt x=\cos \alpha với 0\le \alpha\le \dfrac{2\pi}{3}.
Phương trình trở thành \cos 3\alpha=\dfrac{1}{2} suy ra \alpha=\dfrac{\pi}{9} hoặc \alpha=\dfrac{5\pi}{9}.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \left(\cos\dfrac{\pi}{9};2\cos\dfrac{\pi}{9} \right), \left(\cos\dfrac{5\pi}{9};2\cos\dfrac{5\pi}{9} \right).
Bài 2. Cho dãy số \left( x_n\right) xác định bởi \left\{ \begin{array}{l}&x_1=a\quad (a > 2)\\&x_{n+1}=\dfrac{x_n^3+12x_n}{3x_n^2+4},\quad \forall n\in\mathbb{N}^*.\end{array} \right.
|
Lời giải
- Ta có x_{n+1}-2=\dfrac{x_n^3+12x_n-2\left(3x_n^2+4\right)}{3x_n^2+4}=\dfrac{\left(x_n-2\right)^3}{3x_n^2+4} và x_1=a > 2 nên x_n > 2 với mọi n\in\mathbb{N}^*.
Lại có x_{n+1}-x_n=\dfrac{-2x_n(x_n-2)(x_n+2}{3x_n^2+4} < 0 hay x_{n+1} < x_n với mọi n\in\mathbb{N}^*.
Do đó dãy số (x_n) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số 2 nên dãy số (x_n) có giới hạn hữu hạn.
Đặt giới hạn đó là L, L\ge 2. Chuyển qua giới hạn ở công thức truy hồi, ta được L=\dfrac{L^3+12L}{3L^2+4}\Leftrightarrow L^3-4L=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}&L=0\\&L=2\\&L=-2.\end{array} \right. Suy ra \lim x_n=2. - Đặt c_{n,k}=\dfrac{1}{2^{n-k+1}} với 1\le k\le n. Khi đó y_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n c_{n,k}x_k.
Ta có \lim c_{n,k}=0 và \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n c_{n,k}=\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2^2}+\cdots +\dfrac{1}{2^n}=1-\dfrac{1}{2^n} < 1. Vì dãy số (x_n) giảm và x_n > 2 nên 0 < x_n-2 < a-2.
Với \epsilon > 0 bé tùy ý, vì \lim (x_n-2)=0 nên tồn tại n_1 đủ lớn để x_n-2 < \dfrac{\epsilon}{2} với mọi n > n_1.
Vì \lim c_{n,k}=0 nên \displaystyle\lim\sum\limits_{k=1}^{n_1} c_{n,k}=0, nên tồn tại n_2 đủ lớn để \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n_1} c_{n,k} < \dfrac{\epsilon}{2(a-2)}, với mọi n > n_2.
Đặt n_0=\max\{n_1,n_2\}.
Khi đó \forall n\ge n_0, ta có \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n c_{n,k}(x_k-2)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n_1} c_{n,k}(x_k-2)+\displaystyle\sum\limits_{k=n_1+1}^n c_{n,k}(x_k-2) < \dfrac{\epsilon}{2(a-2)}\cdot (a-2)+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon. Suy ra \lim\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n c_{n,k}(x_k-2)=0.
Từ đó \lim y_n=2\lim\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n c_{n,k}=2\lim\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)=2.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn \Omega tâm O. Các tiếp tuyến với \Omega tại B và C cắt nhau tại T.
|
Lời giải
- Dựng đường tròn tâm T bán kính TB. Tia AB cắt đường tròn (T) tại P.
Ta có \angle{BPC}=\dfrac{1}{2}\angle{BTC}=\dfrac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOC)=90^{\circ}-\angle BAC nên PC\perp AC.
Từ đó, gọi Q là giao điểm của tia AC với đường tròn (T) thì \angle PCQ=90^{\circ}.
Suy ra P,T,Q thẳng hàng và T là trung điểm của PQ. Có \triangle ABC \sim \triangle APQ và AM, AT lần lượt là các đường trung tuyến của chúng nên \triangle APT \sim \triangle ACM.
Từ đó, \angle BAT=\angle CAM. - Tứ giác BICP nội tiếp nên \angle FBI=\angle PCI.
Lại có \angle EIC=\angle PCI (so le trong) nên \angle FBI=\angle EIC. Do đó \triangle FBI \sim \triangle EIC.
Suy ra \dfrac{FB}{EI}=\dfrac{FI}{EC}=\dfrac{BI}{IC}. (1)
Mà X là trung điểm cung nhỏ BC của đường tròn \Omega nên AX là tia phân giác của góc \angle BAC, suy ra IE=IF. (2)
Từ (1) và (2) suy ra \dfrac{IB^2}{IC^2}=\dfrac{FB}{EC}.
Đường thẳng AZ cắt BC tại D.
Áp dụng định lý Ceva cho AD, BE, CF đồng quy tại ta được \dfrac{DB}{DC}\cdot\dfrac{EC}{EA}\cdot\dfrac{FA}{FB}=1, suy ra \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{FB}{EC} (vì AE=AF).
Từ đó \dfrac{DB}{DC}=\dfrac{IB^2}{IC^2}.
Đường thẳng OI cắt BC tại D’. Để ý OB, OC là các tiếp tuyến của đường tròn (T) nên áp dụng câu a) cho tam giác IBC ta có \angle BID’=\angle CIM.
Ta có \begin{align*} \dfrac{D’B}{D’C}&=\dfrac{S_{ID’B}}{S_{ID’C}}\\ &=\dfrac{IB\cdot \sin\angle BID’}{IC\cdot \sin\angle CID’}\\ &=\dfrac{IB\cdot \sin\angle CIM}{IC\cdot \sin\angle BIM}\\ &=\dfrac{IB^2\cdot IC\cdot \sin\angle CIM}{IC^2\cdot IB\cdot \sin\angle BIM}\\ &=\dfrac{IB^2\cdot S_{IMC}}{IC^2\cdot S_{IMB}}\\ &=\dfrac{IB^2}{IC^2}. \end{align*} Suy ra D\equiv D’. Vậy AZ, BC,OI đồng quy.
Bài 4. Trong lễ khai mạc kỳ thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia, để chuẩn bị cho việc thả bóng bay lên trời thể hiện quyết tâm và khát vọng của học sinh, ban tổ chức chọn 9 bạn đại diện cho 9 môn: Toán, Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, Sử, Địa xếp thành một hàng dọc. Sau đó, ban tổ chức phát các quả bóng bay gồm hai màu xanh và hồng cho 9 học sinh này (mỗi bạn một quả bóng) sao cho thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
|
Lời giải
Ta chứng minh rằng hai học sinh đứng thứ nhất và thứ hai luôn nhận bóng bay cùng màu.Thật vậy, giả sử hai học sinh đứng thứ nhất và thứ hai nhận bóng bay khác màu.
- Học sinh thứ 1 nhận bóng bay màu xanh, học sinh thứ 2 nhận bóng bay màu hồng.
Khi đó theo điều kiện ii) học sinh thứ 3 (3=1+2) nhận bóng bay màu hồng, và các học sinh thứ 4, 5, 6, 7, 8, 9 đều nhận bóng bay màu hồng, mâu thuẫn với i). - Học sinh thứ 1 nhận bóng bay màu hồng, học sinh thứ 2 nhận bóng bay màu xanh.
Khi đó theo điều kiện ii) học sinh thứ 3 (3=1+2) nhận bóng bay màu hồng, học sinh thứ 5 (5=2+3) nhận bóng bay màu hồng, học sinh thứ 7 (7=2+5) nhận bóng bay màu hồng, học sinh thứ 9 (9=2+7) nhận bóng bay màu hồng, mâu thuẫn với i). Vậy hai học sinh đứng thứ nhất và thứ hai luôn nhận bóng bay cùng màu.
Vì học sinh thứ 9 nhận bóng bay màu xanh nên các cặp học sinh thứ 1 và thứ 8, thứ 2 và thứ 7, thứ 3 và thứ 6, thứ 4 và thứ 5 nhận bóng bay cùng màu. Nếu học sinh thứ 1 và thứ 2 cùng nhận bóng bay màu xanh thì khi đó học sinh thứ 7 và thứ 8 cũng nhận bóng bay màu xanh. Vì các học sinh thứ 1, 2, 7 nhận bóng bay màu xanh nên các học sinh thứ 5 và 6 cũng nhận bóng bay màu xanh, và các học sinh thứ 3 và 4 cũng nhận bóng bay màu xanh. Vậy trường hợp này tất cả các học sinh đều nhận bóng bay màu xanh. Dễ dàng thấy rằng cách phát bóng bay này thỏa điều kiện bài toán.
Nếu học sinh thứ 1 và thứ 2 cùng nhận bóng bay màu hồng thì khi đó học sinh thứ 7 và thứ 8 cũng nhận bóng bay màu hồng. Nếu học sinh thứ 4 nhận bóng bay màu xanh thì học sinh thứ 5 (5=1+4) nhận bóng bay màu hồng, khi đó học sinh thứ 9 (9=4+5) nhận bóng bay màu hồng, mâu thuẫn với i). Do đó học sinh thứ 4 và thứ 5 nhận bóng bay màu hồng.
Lúc này, có 2 khả năng xảy ra:
- Chỉ có học sinh thứ 9 nhận bóng bay màu xanh, các bạn còn lại đều nhận bóng bay màu hồng. Dễ thấy cách phát này cũng thỏa mãn điều kiện bài toán.
- Các học sinh thứ 3, 6, 9 nhận bóng bay màu xanh, các bạn còn lại nhận bóng bay màu hồng. Kiểm tra được cách phát này cũng thỏa mãn điều kiện bài toán.
- Tất cả các học sinh đều nhận bóng bay màu xanh.
- Chỉ có học sinh thứ 9 nhận bóng bay màu xanh, các học sinh còn lại nhận bóng bay màu hồng.
- Các học sinh thứ 3, 6, 9 nhận bóng bay màu xanh, các học sinh còn lại nhận bóng bay màu hồng.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét