Bài 1. Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}&x^3+y^2+3x=\left(x^2+x+3 \right)y\\&\sqrt{3y+4}+6x+21=\sqrt{x-2y+5}+3xy. \end{array} \right. |
Lời giải
Điều kiện: \left\{ \begin{array}{l}&3y+4\ge 0\\&x-2y+5\ge 0.\end{array} \right.Xét phương trình thứ nhất của hệ, ta có \begin{eqnarray*} &&x^3+y^2+3x=\left(x^2+x+3 \right)y\\ &\Leftrightarrow& \left(x^3-x^2y \right)+\left(y^2-xy \right)+\left(3x-3y \right)=0\\ &\Leftrightarrow& x^2(x-y)+y(y-x)+3(x-y)=0\\ &\Leftrightarrow& (x-y) \left(x^2-y+3 \right)=0\\ &\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}&x-y=0\\&x^2-y+3=0\end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}&x=y\\&y=x^2+3\end{array} \right.. \end{eqnarray*}
- Xét trường hợp x=y, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \sqrt{3x+4}+6x+21=\sqrt{5-x}+3x^2. Điều kiện: -\dfrac{3}{4}\le x\le 5. Ta có \begin{eqnarray*} &&\sqrt{3x+4}+6x+21=\sqrt{5-x}+3x^2\\ &\Leftrightarrow& 3x^2-6x-21+\sqrt{5-x}-\sqrt{3x+4}=0\\ &\Leftrightarrow&\left(3x^2-6x-24 \right) +\left( \sqrt{5-x}-1\right) +\left(4-\sqrt{3x+4} \right)=0\\ &\Leftrightarrow& (x-4)\left( 3x+6-\dfrac{1}{\sqrt{5-x}+1}-\dfrac{3}{4+\sqrt{3x+4}}\right)=0.\quad(*) \end{eqnarray*} Trên \left[-\dfrac{3}{4};5 \right] , ta có \dfrac{1}{\sqrt{5-x}+1}+\dfrac{3}{4+\sqrt{3x+4}}\le 1+\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4} < 2 < 3x+6. Do đó, (*) tương đương với x=4, suy ra y=4.
- Xét trường hợp y=x^2+3, thế vào điều kiện x-2y+5\ge 0, x-2\left( x^2+3\right)+5\ge 0\Leftrightarrow 2x^2-x+1\le 0. Bất phương trình này vô nghiệm, do đó trong trường hợp này hệ đã cho vô nghiệm.
Bài 2. Cho dãy số \left(x_n \right) xác định bởi x_1=\dfrac{1}{2} và x_{n+1}=x^2_n-x_n+1, \forall n\in \mathbb{N}^*.
|
Lời giải
Theo bài ra, ta có x_{n+1}=x_n^2-x_n+1=\left(x_n-\dfrac{1}{2} \right)^2+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4} , \forall n\ge 2.- Ta chứng minh x_n\le \dfrac{2n-1}{2n}, \forall n\in \mathbb{N}^* bằng phương pháp quy nạp.
Thật vậy, ta có- Hiển nhiên mệnh đề đúng với n=1.
- Giả sử mệnh đề đúng với n=k, k > 1 tức là x_k\le \dfrac{2k-1}{2k}.\quad (*)
- Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1, tức là
x_{k+1}\le 1-\dfrac{1}{2(k+1)}.
Xét hàm số f(t)=t^2-t+1 với t\ge \dfrac{3}{4}.
Ta có f'(t)=2t-1 > 0, \forall t\ge \dfrac{3}{4}, do đó f(t) đồng biến trên \mathscr{D}=\left[ \dfrac{3}{4};+\infty\right) .
Như vậy, ta có x_{k+1}=f\left(x_k \right)\le f\left( \dfrac{2k-1}{2k}\right) =1-\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{4k^2} Để chứng minh (*) đúng, ta chỉ ra bất đẳng thức sau đúng với k > 1, k\in \mathbb{N} \begin{eqnarray*} 1-\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{4k^2}\le 1-\dfrac{1}{2(k+1)}. \end{eqnarray*} Thật vậy, ta có \begin{eqnarray*} &&1-\dfrac{1}{2k}+\dfrac{1}{4k^2}\le 1-\dfrac{1}{2(k+1)}\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{1}{2k}-\dfrac{1}{4k^2}\ge \dfrac{1}{2(k+1)}\\ &\Leftrightarrow& 2k(k+1)-(k+1)\ge 2k^2\\ &\Leftrightarrow& k-1\ge 0 \ \text{(đúng)}. \end{eqnarray*} Vậy x_{k+1}\le1 -\dfrac{1}{2(k+1)} hay mệnh đề đúng với n=k+1. Ta có điều phải chứng minh.
- Từ câu 1, suy ra 0 < x_n < 1, \forall n\in \mathbb{N}^*. Do đó, ta có x_{n+1}-x_n=\left(x_n-1 \right)^2 > 0 , \forall n\ge 1 tức \left( x_n\right) đơn điệu tăng.
Theo tiêu chuẩn Weierstrass, ta có dãy \left(x_n \right) có giới hạn L.
Như thế từ x_{n+1}=x^2_n-x_n+1, \forall n\in \mathbb{N}^* suy ra L=L^2-L+1\Rightarrow L=1. Từ x_{n+1}=x^2_n-x_n+1\Rightarrow x_n=\dfrac{x_{n+1}-1}{x_n-1}. Ta có \lim\left( x_1x_2\cdots x_n\right) =\lim\left( \dfrac{x_2-1}{x_1-1}\cdot \dfrac{x_3-1}{x_2-1}\cdots \dfrac{x_{n+1}-1}{x_{n}-1}\right) =\lim \dfrac{x_{n+1}-1}{x_1-1}=\lim 2\left( 1-x_{n+1}\right)=0. Do 0 < x_n < 1, \forall n\in \mathbb{N}^* nên 0 < x_1x^2_2x^3_3\cdots x^n_n < x_1x_2\cdots x_n\Rightarrow \lim \left(x_1x^2_2x^3_3\cdots x^n_n \right)=0. Vậy \lim\limits\left( x_{n+1}+x_1x^2_2x^3_3\cdots x^n_n\right)=1 .
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(x+y)\cdot f(x-y)+y^2=f\left(x^2 \right),\ \forall x,y\in \mathbb{R}. |
Lời giải
Giả sử tồn tại hàm số f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(x+y)\cdot f(x-y)+y^2=f\left(x^2 \right),\ \forall x,y\in \mathbb{R}.\quad(1) Trong điều kiện (1),- Thay (x;y) bởi (0;x), ta được f(x)\cdot f(-x)+x^2=f\left(0 \right) , \forall x\in\mathbb{R}.(2)
- Thay (x;y) bởi (x;0), ta được f^2(x)=f\left( x^2\right) , \forall x\in\mathbb{R}.(3)
- Thay (x;y) bởi (x;x), ta được f(x)\cdot f(0)+x^2=f\left(x^2 \right) , \forall x\in\mathbb{R}.(4)
- Thay (x;y) bởi (0;0), ta được f^2(0)=f\left(0\right) , \forall x\in\mathbb{R}.(5).
- f(0)=0. Từ (3), (4) suy ra f^2(x)=x^2, \forall x\in\mathbb{R} hay \forall x\in\mathbb{R}, ta có f(x)=x hoặc f(x)=-x.
\item f(x)=x, \forall x\in\mathbb{R}. Thử trực tiếp vào điều kiện (1) thấy thỏa mãn.
\item f(x)=-x, \forall x\in\mathbb{R}. Thử trực tiếp vào điều kiện (1) thấy không thỏa mãn.
\item Nếu tồn tại \alpha, \beta\ne 0, sao cho f(\alpha)=\alpha, f(\beta)=-\beta.
Chọn \left(x;y \right)=\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2};\dfrac{\alpha-\beta}{2} \right) , ta được \begin{eqnarray*} &&f(\alpha)\cdot f(\beta)+\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)^2 =f\left[\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} \right)^2 \right]\\ &\Leftrightarrow& \alpha \cdot (-\beta)+\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)^2=\left( \dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)^2\\ &\Leftrightarrow& -\alpha\cdot \beta +\dfrac{\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta}{4}=\dfrac{\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta}{4}\\ &\Leftrightarrow&\alpha\beta=0\\ &\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}&\alpha=0\\&\beta=0\end{array} \right.. \end{eqnarray*} Mâu thuẫn với \alpha, \beta\ne 0. Vậy khả năng này không xảy ra. - f(0)=1 thì từ (4) ta có f(x)=f(-x)=f\left( x^2\right)-x^2 , \forall x\in \mathbb{R}, kết hợp với (2) suy ra f^2(x)=1-x^2, \forall x\in \mathbb{R}. Điều này không đúng nếu x > 1. Vậy trường hợp này không xảy ra.
Bài 4. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, M sao cho AM không là đường kính. Điểm I nằm trên đoạn OA ( I không trùng với các điểm O, A). Đường tròn (I;IA) và đường tròn đường kính IM cắt nhau tại hai điểm B, C. Các đường thẳng MB, MI, MC cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai lần lượt là D, E, F sao cho tia MA nằm giữa hai tia MD, ME. Đường thẳng DF cắt các đường thẳng ME, MA, AE lần lượt tại T, S, Q.
|
Lời giải
- Do đường tròn (I;IA) và đường tròn đường kính IM cắt nhau tại hai điểm B, C nên
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{l}&\widehat{IBM}=\widehat{ICM}=90^\circ\\&IB=IM\end{array} \right.\Rightarrow \triangle IBM=\triangle ICM\Rightarrow \widehat{IBM}=\widehat{ICM}
\end{eqnarray*}
hay \widehat{DBE}=\widehat{FCE}. Do đó, ME là tia phân giác của góc DMF.
Từ đây, ta cũng suy ra \overset\frown{DE}=\overset\frown{EF}, kết hợp với tính chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, ta có \widehat{AQF}=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{EF}-\text{sđ}\overset\frown{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left( \text{sđ}\overset\frown{DE}-\text{sđ}\overset\frown{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AE}=\widehat{AME}. Xét hai tam giác AQS và MST, ta có \left\{ \begin{array}{l}&\widehat{AQS}=\widehat{TMS}\\&\widehat{ASQ}=\widehat{TSM}\end{array} \right.\Rightarrow \triangle ASQ\backsim \triangle TSM\Rightarrow \dfrac{SA}{ST}=\dfrac{SQ}{SM}\Rightarrow SA\cdot SM=ST\cdot SQ. Tương tự ta cũng có \triangle ASD\backsim \triangle FSM\Rightarrow \dfrac{SA}{SF}=\dfrac{SD}{SM}\Rightarrow SA\cdot SM=SD\cdot SF. Vậy ST\cdot SQ=SD\cdot SF\Rightarrow \overline{SD}\cdot\overline{SF}= \overline{ST}\cdot\overline{SQ}. - Gọi D', F' lần lượt là giao điểm thứ hai của AD, AF với đường tròn (I;IA).
Đặt k=\dfrac{AI}{AO}. Xét phép vị tự \mathbf{V}_{(A,k)}, ta có \mathbf{V}_{(A,k)} biến đường tròn tâm O thành đường tròn tâm I.
Do đó \left\{ \begin{array}{l}&\mathbf{V}_{(A,k)}(D)=D'\\&\mathbf{V}_{(A,k)}(F)=F'\end{array} \right.\Rightarrow D'F'\parallel DF\Rightarrow \dfrac{DD'}{D'A}=\dfrac{FF'}{F'A}, \dfrac{DA}{D'A}=\dfrac{FA}{F'A}. Ta có \widehat{IBM}=90^\circ\Rightarrow \widehat{DBI}=90^\circ, nên DB là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. Lại có cát tuyến qua D cắt (I,IA) tại D', A nên DB^2=DD'\cdot DA. Tương tự ta cũng có FC^2=F'F^2\cdot FA. Do đó \begin{eqnarray*} \left(\dfrac{DB}{AD'} \right)^2&=&\dfrac{DB^2}{AD'^2}=\dfrac{DD'\cdot DA}{AD'^2}=\dfrac{DD'}{D'A}\cdot \dfrac{DA}{AD'}\\ &=&\dfrac{FF'}{F'A}\cdot \dfrac{FA}{F'A}=\dfrac{FF'\cdot FA}{F'A^2}=\dfrac{FC^2}{F'A^2}\\&=&\left( \dfrac{FC}{F'A}\right)^2. \end{eqnarray*} Do đó, \dfrac{DB}{AD'}=\dfrac{FC}{F'A}\Rightarrow \dfrac{BD}{CF}=\dfrac{AD'}{AF'}=\dfrac{AD}{AF}.(1)
Từ (1), (2) ta có\dfrac{BD}{CF}\cdot \dfrac{QF}{QD}=1. Mà MB, MC lần lượt là các tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (I;IA) nên MB, MC. Do đó \dfrac{BD}{DQ}\cdot \dfrac{QF}{QD}\cdot \dfrac{MC}{MB}=1. Áp dụng định lý Menelaus đảo trong tam giác MDF có B, C, Q thẳng hàng.
Bài 5. Có bao nhiêu cách chọn ra hai số phân biệt từ 100 số nguyên dương đầu tiên sao cho hai số này hơn kém nhau không quá 10 đơn vị? |
Lời giải
Gọi \left\lbrace a;b \right\rbrace là cặp số nguyên dương trong đó 1\le b-a\le 10. Ta xét các khả năng sau- Nếu 1\le a\le 90 thì với mỗi giá trị của a có 10 giá trị tương ứng thỏa mãn của b. Vậy trường hợp này có 90\cdot 10=900 cặp số thỏa mãn.
- Nếu 91\le a\le 100 thì với mỗi giá trị của a có 100-a giá trị tương ứng thỏa mãn của b.
Vậy trường hợp này có số cặp số thỏa mãn là 9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=\dfrac{9\cdot 10}{2}=45.
Bài 6. Cho tập hợp X=\left\lbrace 2^{2^k}\mid\ k\in\mathbb{N},\ 0\le k\le 2020 \right\rbrace . Xét tất cả các tập hợp con khác rỗng của X. Với mỗi tập hợp con như vậy, ta tính tích của mọi phần tử trong tập hợp đó (nếu tập hợp con chỉ có một phần tử thì quy ước tích chính là phần tử đó). Tính tổng của tất cả các tích thu được. |
Lời giải
Đặt x_{k+1}=2^{2^k}, k=\overline{0,2020}.Khi đó, tổng của tất cả các tích của các phần tử trong mỗi tập con của X được tính như sau \begin{eqnarray*} S=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{2021} x_i+\sum_{1=i < j}^{2021}x_ix_j+\cdots+ \sum_{i=1}^{2021} \left( \dfrac{\prod\limits_{j=1}^{2021}x_j}{x_i}\right) +\prod_{i=1}^{2021}x_i. \end{eqnarray*} Xét đa thức f(x)=\left(x-x_1 \right) \left(x-x_2 \right)\cdots \left(x-x_{2021} \right)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_{2021}x^{2021}. Theo định lý Vi-ét, ta có \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l}&a_{2021}=1\\&a_{2020}=-\left(x_1+x_2+\cdots+x_{2021} \right)=-\sum\limits_{1}^{2021} x_i\\ &\cdots\\ &a_1= \sum_{i=1}^{2021} \left( \dfrac{\prod\limits_{j=1}^{2021}x_j}{x_i}\right)\\&a_0=- \prod_{i=1}^{2021}x_i. \end{array} \right. \end{eqnarray*} Như vậy, ta có \begin{eqnarray*} S&=&-a_{2020}+\cdots+a_1-a_0=-\left[f(-1)+a_{2021} \right]=-\left[f(-1)+1 \right] \\ &=&-\left[ \left(-1-2^{2^0} \right)\left(-1-2^{2^1} \right)\cdots\left(-1-2^{2^{2020}} \right)+1 \right]\\ &=& \left(1+2^{2^0} \right)\left(1+2^{2^1} \right)\cdots\left(1+2^{2^{2020}} \right)-1 \\ &=&\left(1+2^{2^0} \right)\left(1+2^{2^1} \right)\cdots\left(1+2^{2^{2020}} \right)-1 \\ &=&\dfrac{\left(1-2^{2^0} \right)\left(1+2^{2^0} \right)\left(1+2^{2^1} \right)\cdots\left(1+2^{2^{2020}}\right)}{1-2^{2^0} }-1\\ &=& \dfrac{1-2^{2^{2021}}}{1-2^{2^0} }-1=2^{2^{2021}}-2. \end{eqnarray*}
0 nhận xét:
Đăng nhận xét