Bài 1. Xét x, y, z \in(0 ; 1] . Chứng minh rằng \dfrac{36}{\left (2 \sqrt{x}+\sqrt{y}\right )\left (\sqrt{y}+2 \sqrt{z}\right )}+27(x-1)(y-1)(z-1) \geq 4. |
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương ta có(2 \sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{y}+2 \sqrt{z})=2 \sqrt{x y}+4 \sqrt{x z}+2 \sqrt{y z}+y \leq(x+y)+2(x+z)+(y+z)+y=3(x+y+z).
27(1-x)(1-y)(1-z) \leq(1-x+1-y+1-z)^{3}=(3-(x+y+z))^{3}
Suy ra \dfrac{36}{(2 \sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{y}+2 \sqrt{z})}+27(x-1)(y-1)(z-1) \geq \dfrac{12}{x+y+z}-(3-(x+y+z))^{3}.
Đặt t=x+y+z thì t \in(0 ; 3]. Ta đi chứng minh \dfrac{12}{t}-(3-t)^{3} \geq 4 (*).
Thật vậy, (*) \Leftrightarrow t(t-3)^{3}-4 t+12 \geq 0 \Leftrightarrow(t-3)\left[t(t-3)^{2}-4\right] \geq 0
\Leftrightarrow(t-3)(t-4)(t-1)^{2} \geq 0 (luôn đúng với mọi t \in(0 ; 3]).
Vậy (*) đúng, dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Đẳng thức ở (*) xảy ra khi và chi khi t \in\{1 ; 3\}.
Dấu bằng của bất đẳng thức cần chứng minh xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l}&x=y=z\\&x+y+z \in \{ 1;3\}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}& (x, y, z)=\left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}\right) \\&(x, y, z)=(1 ; 1 ; 1). \end{array} \right.
Bài 2. Với P(x)=x^{2}-2020 x+1, ta đinh nghĩa \left\{ \begin{array}{l}&P_{1}(x)=P(x) \\ & P_{n+1}(x)=P\left (P_{n}(x)\right )\end{array} \right., \forall n \in \mathbb{N}^{*}.
|
Lời giải
- Với mỗi số dương \alpha thì P(x)-\alpha=x^{2}-2020 x+1-\alpha là tam thức bậc hai có
\Delta=2020^{2}-4(1-\alpha)=2020^{2}-4+4 \alpha > 0,
nên nó luôn có hai nghiệm thực phân biệt x_{1}, x_{2}. Hơn nữa nếu có \alpha \in(0 ; 1) thì \left\{ \begin{array}{l}&x_{1}+x_{2}=2020 > 0 \\ &x_{1} x_{2}=1-\alpha > 0\end{array} \right. nên x_{1}, x_{2} > 0.
Xét phương trình P_{2}(x)-\alpha=0 \Leftrightarrow P(P(x))-\alpha=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}& P(x)=x_{1} && (1) \\ &P(x)=x_{2} && (2). \end{array} \right. Theo nhận xét trên, x_{1} > 0, x_{2} > 0 nên mỗi phương trình (1) và (2) đều có đúng hai nghiệm phân biệt, hai phương trình này không thể có nghiệm chung do x_{1} \neq x_{2} nên P_{2}(x)-\alpha có đúng bốn nghiệm thực phân biệt. - Giả sử có \forall n \in \mathbb{N}^{*}, P_{n}(x)-k x luôn có hai nghiệm thực mà hiệu của chúng lớn hơn \sqrt{2019 \cdot 2023}.
Xét riêng n=1 thì P_{1}(x)-k x=x^{2}-(2020+k) x+1 có hai nghiệm mà hiệu giữa hai nghiệm này lớn hơn \sqrt{2019 \cdot 2023}.
Ta chứng minh nếu k > 1 thì P_{n}(x)-k x luôn có hai nghiệm thực mà hiệu của hai nghiệm này lớn hơn \sqrt{2019 \cdot 2023} với mọi số nguyên dương n.
Phương trình P(x)=x \Leftrightarrow x^{2}-2021 x+1=0. Phương trinh này có hai nghiệm thực dương là a, b mà b-a=\sqrt{2021^{2}-4}=\sqrt{2019 \cdot 2023}.
Đặt Q(x)=P_{n}(x)-k x. Q(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \mathbb{R}.
Có Q(a)=P_{n}(a)-k a=a-k a=a(1-k) < 0 và Q(b)=b(1-k) < 0. Bằng quy nạp ta chứng minh được P_{n}(x) là đa thức monic có bậc là 2^{n} (bậc chẵn) do đó \displaystyle \lim _{x \rightarrow \pm \infty} Q(x)=+\infty, suy ra tồn tại hai số thực a', b' sao cho a' < 0 < a, b < b' và Q\left(a'\right) > 0, Q\left(b'\right) > 0.
Áp dụng đinh lý giá trị trung gian cho hàm liên tục Q(x) trên các đoạn \left[a'; a\right] và \left[b ; b'\right] suy ra Q(x) có nghiệm thực t, t' mà a' < t < a < b < t' < b' Khi đó có t'-t > b-a=\sqrt{2019 \cdot 2023}.
Bài 3. Cho tam giác A B C nội tiếp đường tròn (O). P là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC nhưng không thuộc đường thẳng AO. Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác A ). Kẻ các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Các đường thẳng EP, FP lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm G, H (khác E, F). Gọi K là giao điểm của các đường thẳng A H và DG, L là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng OP. Giả sử rằng hai đương thẳng KL và AD cắt nhau.
|
Lời giải
- Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng KL,AD.
Vì DE,\,\,AF là các đường kính của đường tròn \left( O \right) nên suy ra \widehat{KHP}=\widehat{KGP}={{90}^\circ} Do đó tứ giác KHPG nội tiếp. Mà tứ giác HADG nội tiếp đường tròn \left( O \right) nên suy ra \widehat{KPG}=\widehat{KHD}=\widehat{GDA}.
Mặt khác \widehat{GDA}+\widehat{GPD}={{90}^{0}} nên \widehat{KPD}=\widehat{KPG}+\widehat{GPD}=\widehat{GDA}+\widehat{GPD}=90^{0}.
Do đó \Delta KPD vuông tại P và có đường cao PG \Rightarrow KP^{2}=\overline{KG}\cdot \overline{KD}.
Kí hiệu (w) là đường tròn điểm P. Khi đó ta có P_{K/(w)}=P_{K/(O)}.
Có KL\perp OP nên KL là trục đẳng phương của đường tròn điểm (w) và đường tròn (O) \Rightarrow P_{Q/(w)}=P_{Q/(O)}\Rightarrow QP^{2}=\overline{QA} \cdot \overline{QD} (1).
Do \Delta KPQ vuông tại P và có đường cao PL nên suy ra QP^2=\overline{QL} \cdot \overline{QK} (2).
Từ (1) và (2) suy ra \overline{QA} \cdot \overline{QD}=\overline{QL} \cdot\overline{QK}. Vậy bốn điểm A,L,K,D cùng thuộc một đường tròn. - Gọi M là giao điểm của KP và EF. Ta thấy tứ giác ADFE là hình chữ nhật nên tứ giác AEMP cũng là hình chữ nhật.
Do đó \widehat{AMK}=\widehat{AMP}=\widehat{EPM}=\widehat{KPG}=\widehat{ADK}. Suy ra tứ giác AMKD nội tiếp nên M thuộc đường tròn (S).
T là giao điểm của OP và EF nên \widehat{KMT}={{90}^{0}}=\widehat{TLK}. Suy ra bốn điểm K,L,M,T cùng thuộc một đường tròn. Vậy T\in \left( S \right).
Bài 4.
|
Lời giải
- Xét q là một ước nguyên tố của số A=1+n+n^{2}+\cdots+n^{p-1}=\dfrac{n^{p}-1}{n-1}.
Ta có q\left|\dfrac{n^{p}-1}{n-1} \Rightarrow q\right|\left(n^{p}-1\right) \Rightarrow n^{p} \equiv 1(\bmod~ q).
Đặt \mathrm{ord}_{q}(n)=k thì k \mid p. Suy ra k=1 hoặc k=p.
Nếu k=1 thì n \equiv 1(\bmod~ q) \Rightarrow A=1+n+\cdots+n^{p-1} \equiv p(\bmod~ q)
\Rightarrow 0 \equiv p (\bmod~ q) \Rightarrow q=p (do p, q là số nguyên tố).
Nếu k=p. Từ n^{p} \equiv 1(\bmod~ q) suy ra (n, q)=1.
Theo định lý Fermat nhỏ ta có n^{q-1} \equiv 1(\bmod ~q). Suy ra p \mid(q-1) hay q \equiv 1(\bmod ~p).
Vậy ước nguyên tố của A=1+n+n^{2}+\cdots+n^{p-1} hoặc là p, hoặc chia cho p dư 1. - Giả sử B=m^{5} với m là một số nguyên dương. Khi đó ta có m^{5}-1=1+n+n^{2}+\cdots+n^{p-1}.
Nếu n=1 thì m^{5}-1=p \Leftrightarrow(m-1)\left(m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1\right)=p.
Do p là số nguyên tố nên suy ra m-1=1 \Leftrightarrow m=2. Khi đó p=31.
Xét trường hợp n > 1 ta có m^{5}-1=\dfrac{n^{p}-1}{n-1} (*)
Theo câu trước và từ (*) ta thấy, mọi ước nguyên tố của m-1 thì bằng p hoặc chia cho p dư 1. Suy ra m-1=p t hoăc m-1=p t+1, với t \in \mathbb{Z}.
Tương tự với số m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1 cũng có các dạng đó.
Nếu m-1=p t. Khi đó m \equiv 1(\bmod ~p).
Suy ra m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1 \equiv 5(\bmod ~p) \Rightarrow 5 \equiv 0(\bmod ~p) hoặc 5 \equiv 1(\bmod~ p).
Do đó p \in\{2,5\} m-1=p t+1. Khi đó m \equiv 2(\bmod ~p).
Suy ra m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1 \equiv 31(\bmod ~p) \Rightarrow 31 \equiv 0(\bmod ~p) hoăc 31 \equiv 1(\bmod ~p) Do đó p \in\{2,3,5,31\}.
Vậy có p \in\{2,3,5,31\}.
Nếu p=2, ta chọn n=30 thì B=32=2^{5}.
Nếu p=3, ta chon n=5 thì B=32=2^{5}.
Nếu p=5, ta chon n=2 thì B=32=2^{5}.
Nếu p=31, ta chọn n=1 thì B=32=2^{5}.
Vậy p \in\{2,3,5,31\} là tất cả các giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.
Bài 5. Xét số nguyên dương n lớn hơn 1. Người ta muốn phân hoạch tập hợp tất cả các số nguyên dương thành hai tập con vô hạn và rời nhau là X_1 và X_2 sao cho tổng của bất cứ n phần tử phân biệt nào trong mỗi tập con (X_1 hoặc X_2) đều là phần tử thuộc tập con đó.
|
Lời giải
- Với n=2001 thì có thể phân hoạch được. Chẳng hạn ta coi X_1 là tập hợp tất cả .các số nguyên dương lẻ và X_2 là tập hợp tất cả các số nguyên dương chẵn. Khi đó
- X_1 và X_2 là các tập vô hạn, rời nhau và X_1 \cup X_2 = \mathbb{N}^*.
- Tổng của 2021 số nguyên dương lẻ là số nguyên dương lẻ; tổng của 2021 số nguyên dương chẵn là số nguyên dương chẵn. Do đó yêu cầu của phân hoạch được thỏa mãn.
- Với n là số nguyên dương lẻ n > 1 thì ta phân hoạch được như đã nêu trong ý trước.
Ta chứng minh không thể có phân hoạch thỏa mãn yêu cầu khi n là số nguyên dương chẵn, n=2N (với n \in \mathbb{N}^*).
Giả sử tồn tại cách phân hoạch \mathbb{N}^* = X_1 \cup X_2 thỏa mãn yêu cầu.
Cố định trước một số nguyên dương m. Ta chứng minh tồn tại số x \in X_1, x > m mà x+1 \in X_{2}.
Thật vậy, nếu ngược lại thì với mọi x \in X_{1}, x > m thì x+1 \in X_{1}. Khi đó bằng quy nạp đơn giản ta dẫn đến \left\{m'+1 ; m'+2 ; \ldots\right\} \subset X_{1} (với m' là số nhỏ nhất trong X_{1} lớn hơn m ). X_{2}=\mathbb{N}^{*} \backslash X_{1} \Rightarrow X_{2} \subset\left\{1 ; 2 ; \ldots ; m'\right\}, điều này mâu thuẫn giả thiết X_{2} là tập vô hạn. Vậy điều giả sử là sai.
Tưong tự với số nguyên dương m cố định trước thì luôn tồn tại số x \in X_{2}, x > m mà x+1 \in X_{1} Sừ dụng tính chất vừa nêu ta có- Tồn tại x_{1} \in X_{1} mà y_{1}=x_{1}+1 \in X_{2}.
- Tồn tại y_{2} > y_{1} và y_{2} \in X_{2} mà x_{2}=y_{2}+1 \in X_{1}.
- Tồn tại x_{3} > x_{2} và x_{3} \in X_{1} mà y_{3}=x_{3}+1 \in X_{2}.
- \ldots
- Tồn tại x_{2 N-1} > x_{2 N-2} và x_{2 N-1} \in X_{1} mà y_{2 N-1}=x_{2 N-1}+1 \in X_{2}.
- Tồn tại y_{2 N} > y_{2 N-1} và y_{2 N} \in X_{2} mà x_{2 N}=y_{2 N}+1 \in X_{1}.
Vậy tất cả các giá trị cần tìm của n là các số lẻ lớn hơn 1.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét