Processing math: 100%

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Thứ Ba, 10 tháng 11, 2020

Đề HSG 12 tỉnh Nam Định năm 2020-2021, Vòng 2

Bài 1. Xét x, y, z \in(0 ; 1] . Chứng minh rằng \dfrac{36}{\left (2 \sqrt{x}+\sqrt{y}\right )\left (\sqrt{y}+2 \sqrt{z}\right )}+27(x-1)(y-1)(z-1) \geq 4.

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương ta có
(2 \sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{y}+2 \sqrt{z})=2 \sqrt{x y}+4 \sqrt{x z}+2 \sqrt{y z}+y \leq(x+y)+2(x+z)+(y+z)+y=3(x+y+z).
27(1-x)(1-y)(1-z) \leq(1-x+1-y+1-z)^{3}=(3-(x+y+z))^{3}
Suy ra \dfrac{36}{(2 \sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{y}+2 \sqrt{z})}+27(x-1)(y-1)(z-1) \geq \dfrac{12}{x+y+z}-(3-(x+y+z))^{3}.
Đặt t=x+y+z thì t \in(0 ; 3]. Ta đi chứng minh \dfrac{12}{t}-(3-t)^{3} \geq 4 (*).
Thật vậy, (*) \Leftrightarrow t(t-3)^{3}-4 t+12 \geq 0 \Leftrightarrow(t-3)\left[t(t-3)^{2}-4\right] \geq 0
\Leftrightarrow(t-3)(t-4)(t-1)^{2} \geq 0 (luôn đúng với mọi t \in(0 ; 3]).
Vậy (*) đúng, dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Đẳng thức ở (*) xảy ra khi và chi khi t \in\{1 ; 3\}.
Dấu bằng của bất đẳng thức cần chứng minh xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{array}{l}&x=y=z\\&x+y+z \in \{ 1;3\}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}& (x, y, z)=\left(\frac{1}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}\right) \\&(x, y, z)=(1 ; 1 ; 1). \end{array} \right.

Bài 2. Với P(x)=x^{2}-2020 x+1, ta đinh nghĩa \left\{ \begin{array}{l}&P_{1}(x)=P(x) \\ & P_{n+1}(x)=P\left (P_{n}(x)\right )\end{array} \right., \forall n \in \mathbb{N}^{*}.

  1. Chứng minh rằng vói mỗi số thực \alpha thuộc (0 ; 1), đa thức P_{2}(x)-\alpha có đúng bốn nghiêm thực phân biệt.
  2. Tìm tất cả các số thực dương k sao cho: Với mọi số nguyên dương n, đa thức P_{n}(x)-k x luôn có hai nghiêm thực mà hiệu của chúng lớn hơn \sqrt{2019 \cdot 2023}.

Lời giải

  1. Với mỗi số dương \alpha thì P(x)-\alpha=x^{2}-2020 x+1-\alpha là tam thức bậc hai có \Delta=2020^{2}-4(1-\alpha)=2020^{2}-4+4 \alpha > 0, nên nó luôn có hai nghiệm thực phân biệt x_{1}, x_{2}. Hơn nữa nếu có \alpha \in(0 ; 1) thì \left\{ \begin{array}{l}&x_{1}+x_{2}=2020 > 0 \\ &x_{1} x_{2}=1-\alpha > 0\end{array} \right. nên x_{1}, x_{2} > 0.
    Xét phương trình P_{2}(x)-\alpha=0 \Leftrightarrow P(P(x))-\alpha=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}& P(x)=x_{1} && (1) \\ &P(x)=x_{2} && (2). \end{array} \right. Theo nhận xét trên, x_{1} > 0, x_{2} > 0 nên mỗi phương trình (1) và (2) đều có đúng hai nghiệm phân biệt, hai phương trình này không thể có nghiệm chung do x_{1} \neq x_{2} nên P_{2}(x)-\alpha có đúng bốn nghiệm thực phân biệt.
  2. Giả sử có \forall n \in \mathbb{N}^{*}, P_{n}(x)-k x luôn có hai nghiệm thực mà hiệu của chúng lớn hơn \sqrt{2019 \cdot 2023}.
    Xét riêng n=1 thì P_{1}(x)-k x=x^{2}-(2020+k) x+1 có hai nghiệm mà hiệu giữa hai nghiệm này lớn hơn \sqrt{2019 \cdot 2023}.
    Ta chứng minh nếu k > 1 thì P_{n}(x)-k x luôn có hai nghiệm thực mà hiệu của hai nghiệm này lớn hơn \sqrt{2019 \cdot 2023} với mọi số nguyên dương n.
    Phương trình P(x)=x \Leftrightarrow x^{2}-2021 x+1=0. Phương trinh này có hai nghiệm thực dương là a, bb-a=\sqrt{2021^{2}-4}=\sqrt{2019 \cdot 2023}.
    Đặt Q(x)=P_{n}(x)-k x. Q(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \mathbb{R}.
    Q(a)=P_{n}(a)-k a=a-k a=a(1-k) < 0Q(b)=b(1-k) < 0. Bằng quy nạp ta chứng minh được P_{n}(x) là đa thức monic có bậc là 2^{n} (bậc chẵn) do đó \displaystyle \lim _{x \rightarrow \pm \infty} Q(x)=+\infty, suy ra tồn tại hai số thực a', b' sao cho a' < 0 < a, b < b'Q\left(a'\right) > 0, Q\left(b'\right) > 0.
    Áp dụng đinh lý giá trị trung gian cho hàm liên tục Q(x) trên các đoạn \left[a'; a\right]\left[b ; b'\right] suy ra Q(x) có nghiệm thực t, t'a' < t < a < b < t' < b' Khi đó có t'-t > b-a=\sqrt{2019 \cdot 2023}.

Bài 3. Cho tam giác A B C nội tiếp đường tròn (O). P là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC nhưng không thuộc đường thẳng AO. Đường thẳng AP cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác A ). Kẻ các đường kính DE, AF của đường tròn (O). Các đường thẳng EP, FP lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm G, H (khác E, F). Gọi K là giao điểm của các đường thẳng A HDG, L là hình chiếu vuông góc của K trên đường thẳng OP. Giả sử rằng hai đương thẳng KLAD cắt nhau.

  1. Chứng minh rằng bốn điểm A, L, K, D cùng thuộc một đường tròn (gọi đường tròn này là (S) ).
  2. Chứng minh rằng các đường thẳng OPEF cắt nhau tại điểm T thuộc đường tròn (S).

Lời giải

  1. Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng KL,AD.
    DE,\,\,AF là các đường kính của đường tròn \left( O \right) nên suy ra \widehat{KHP}=\widehat{KGP}={{90}^\circ} Do đó tứ giác KHPG nội tiếp. Mà tứ giác HADG nội tiếp đường tròn \left( O \right) nên suy ra \widehat{KPG}=\widehat{KHD}=\widehat{GDA}.
    Mặt khác \widehat{GDA}+\widehat{GPD}={{90}^{0}} nên \widehat{KPD}=\widehat{KPG}+\widehat{GPD}=\widehat{GDA}+\widehat{GPD}=90^{0}.
    Do đó \Delta KPD vuông tại P và có đường cao PG \Rightarrow KP^{2}=\overline{KG}\cdot \overline{KD}.
    Kí hiệu (w) là đường tròn điểm P. Khi đó ta có P_{K/(w)}=P_{K/(O)}.
    KL\perp OP nên KL là trục đẳng phương của đường tròn điểm (w) và đường tròn (O) \Rightarrow P_{Q/(w)}=P_{Q/(O)}\Rightarrow QP^{2}=\overline{QA} \cdot \overline{QD} (1).
    Do \Delta KPQ vuông tại P và có đường cao PL nên suy ra QP^2=\overline{QL} \cdot \overline{QK} (2).
    Từ (1) và (2) suy ra \overline{QA} \cdot \overline{QD}=\overline{QL} \cdot\overline{QK}. Vậy bốn điểm A,L,K,D cùng thuộc một đường tròn.
  2. Gọi M là giao điểm của KPEF. Ta thấy tứ giác ADFE là hình chữ nhật nên tứ giác AEMP cũng là hình chữ nhật.
    Do đó \widehat{AMK}=\widehat{AMP}=\widehat{EPM}=\widehat{KPG}=\widehat{ADK}. Suy ra tứ giác AMKD nội tiếp nên M thuộc đường tròn (S).
    T là giao điểm của OPEF nên \widehat{KMT}={{90}^{0}}=\widehat{TLK}. Suy ra bốn điểm K,L,M,T cùng thuộc một đường tròn. Vậy T\in \left( S \right).

Bài 4.

  1. Cho p là số nguyên tố và n là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của số A=1+n+n^{2}+\cdots+ n^{p-1} hoặc là p, hoặc chia cho p1.
  2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại số nguyên dương n mà số B=2+n+n^{2}+\cdots +n^{p-1} là lũy thừa bậc 5 của một số nguyên dương.

Lời giải

  1. Xét q là một ước nguyên tố của số A=1+n+n^{2}+\cdots+n^{p-1}=\dfrac{n^{p}-1}{n-1}.
    Ta có q\left|\dfrac{n^{p}-1}{n-1} \Rightarrow q\right|\left(n^{p}-1\right) \Rightarrow n^{p} \equiv 1(\bmod~ q).
    Đặt \mathrm{ord}_{q}(n)=k thì k \mid p. Suy ra k=1 hoặc k=p.
    Nếu k=1 thì n \equiv 1(\bmod~ q) \Rightarrow A=1+n+\cdots+n^{p-1} \equiv p(\bmod~ q)
    \Rightarrow 0 \equiv p (\bmod~ q) \Rightarrow q=p (do p, q là số nguyên tố).
    Nếu k=p. Từ n^{p} \equiv 1(\bmod~ q) suy ra (n, q)=1.
    Theo định lý Fermat nhỏ ta có n^{q-1} \equiv 1(\bmod ~q). Suy ra p \mid(q-1) hay q \equiv 1(\bmod ~p).
    Vậy ước nguyên tố của A=1+n+n^{2}+\cdots+n^{p-1} hoặc là p, hoặc chia cho p1.
  2. Giả sử B=m^{5} với m là một số nguyên dương. Khi đó ta có m^{5}-1=1+n+n^{2}+\cdots+n^{p-1}.
    Nếu n=1 thì m^{5}-1=p \Leftrightarrow(m-1)\left(m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1\right)=p.
    Do p là số nguyên tố nên suy ra m-1=1 \Leftrightarrow m=2. Khi đó p=31.
    Xét trường hợp n > 1 ta có m^{5}-1=\dfrac{n^{p}-1}{n-1} (*)
    Theo câu trước và từ (*) ta thấy, mọi ước nguyên tố của m-1 thì bằng p hoặc chia cho p1. Suy ra m-1=p t hoăc m-1=p t+1, với t \in \mathbb{Z}.
    Tương tự với số m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1 cũng có các dạng đó.
    Nếu m-1=p t. Khi đó m \equiv 1(\bmod ~p).
    Suy ra m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1 \equiv 5(\bmod ~p) \Rightarrow 5 \equiv 0(\bmod ~p) hoặc 5 \equiv 1(\bmod~ p).
    Do đó p \in\{2,5\} m-1=p t+1. Khi đó m \equiv 2(\bmod ~p).
    Suy ra m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1 \equiv 31(\bmod ~p) \Rightarrow 31 \equiv 0(\bmod ~p) hoăc 31 \equiv 1(\bmod ~p) Do đó p \in\{2,3,5,31\}.
    Vậy có p \in\{2,3,5,31\}.
    Nếu p=2, ta chọn n=30 thì B=32=2^{5}.
    Nếu p=3, ta chon n=5 thì B=32=2^{5}.
    Nếu p=5, ta chon n=2 thì B=32=2^{5}.
    Nếu p=31, ta chọn n=1 thì B=32=2^{5}.
    Vậy p \in\{2,3,5,31\} là tất cả các giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.

Bài 5. Xét số nguyên dương n lớn hơn 1. Người ta muốn phân hoạch tập hợp tất cả các số nguyên dương thành hai tập con vô hạn và rời nhau là X_1X_2 sao cho tổng của bất cứ n phần tử phân biệt nào trong mỗi tập con (X_1 hoặc X_2) đều là phần tử thuộc tập con đó.

  1. Khi n=2001, có tồn tại cách phân hoạch thỏa mãn yêu cầu hay không?
  2. Tìm tất cả các số nguyên dương n để tồn tại cách phân hoạch thỏa mãn yêu cầu.

Lời giải

  1. Với n=2001 thì có thể phân hoạch được. Chẳng hạn ta coi X_1 là tập hợp tất cả .các số nguyên dương lẻ và X_2 là tập hợp tất cả các số nguyên dương chẵn. Khi đó
    • X_1X_2 là các tập vô hạn, rời nhau và X_1 \cup X_2 = \mathbb{N}^*.
    • Tổng của 2021 số nguyên dương lẻ là số nguyên dương lẻ; tổng của 2021 số nguyên dương chẵn là số nguyên dương chẵn. Do đó yêu cầu của phân hoạch được thỏa mãn.
  2. Với n là số nguyên dương lẻ n > 1 thì ta phân hoạch được như đã nêu trong ý trước.
    Ta chứng minh không thể có phân hoạch thỏa mãn yêu cầu khi n là số nguyên dương chẵn, n=2N (với n \in \mathbb{N}^*).
    Giả sử tồn tại cách phân hoạch \mathbb{N}^* = X_1 \cup X_2 thỏa mãn yêu cầu.
    Cố định trước một số nguyên dương m. Ta chứng minh tồn tại số x \in X_1, x > mx+1 \in X_{2}.
    Thật vậy, nếu ngược lại thì với mọi x \in X_{1}, x > m thì x+1 \in X_{1}. Khi đó bằng quy nạp đơn giản ta dẫn đến \left\{m'+1 ; m'+2 ; \ldots\right\} \subset X_{1} (với m' là số nhỏ nhất trong X_{1} lớn hơn m ). X_{2}=\mathbb{N}^{*} \backslash X_{1} \Rightarrow X_{2} \subset\left\{1 ; 2 ; \ldots ; m'\right\}, điều này mâu thuẫn giả thiết X_{2} là tập vô hạn. Vậy điều giả sử là sai.
    Tưong tự với số nguyên dương m cố định trước thì luôn tồn tại số x \in X_{2}, x > mx+1 \in X_{1} Sừ dụng tính chất vừa nêu ta có
    • Tồn tại x_{1} \in X_{1}y_{1}=x_{1}+1 \in X_{2}.
    • Tồn tại y_{2} > y_{1}y_{2} \in X_{2}x_{2}=y_{2}+1 \in X_{1}.
    • Tồn tại x_{3} > x_{2}x_{3} \in X_{1}y_{3}=x_{3}+1 \in X_{2}.
    • \ldots
    • Tồn tại x_{2 N-1} > x_{2 N-2}x_{2 N-1} \in X_{1}y_{2 N-1}=x_{2 N-1}+1 \in X_{2}.
    • Tồn tại y_{2 N} > y_{2 N-1}y_{2 N} \in X_{2}x_{2 N}=y_{2 N}+1 \in X_{1}.
    Như vậy ta xây dựng được hai dãy (mỗi dãy gồm 2N số): Dãy x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 N} trong X_{1} ; dãy y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2 N} trong X_{2} y_{2 k-1}=x_{2 k-1}+1, \forall k=\overline{1, N} \text { và } y_{2 k}=x_{2 k}-1, \forall k=\overline{1, N}. Theo giả thiêt phải có x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2 N} \in X_{1}y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{2 N} \in X_{2}. Tuy nhiên để ý rằng \begin{align*} &y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{2 N}=\sum_{k=1}^{N} y_{2 k-1}+\sum_{k=1}^{N} y_{2 k} \\ =~& \sum_{k=1}^{N}\left(x_{2 k-1}+1\right)+\sum_{k=1}^{N}\left(x_{2 k}-1\right)=\sum_{k=1}^{N}\left(x_{2 k-1}\right)+\sum_{k=1}^{N}\left(x_{2 k}\right)=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2 N} \end{align*} Điều này dẫn đến X_{1} \cap X_{2} \neq \varnothing, có điều vô lý. Vậy điều giả sử là sai nên n=2 N thì không thể có phân hoạch thỏa mãn yêu cầu.
    Vậy tất cả các giá trị cần tìm của n là các số lẻ lớn hơn 1.

Bài viết cùng chủ đề:

  • Đề chọn ĐTQG tỉnh Bắc Ninh năm 2020-2021Bài 1. Cho dãy số $ {\left(a_n\right)}_{n=0}^{+\infty} $ xác định như sau: $ a_0=0 $, $ a_1=1 $, $ a_{n+2}=2 a_{n+1}-p a_n$ với mọi số tự nhiên $ n $. Biết rằng $ p $ là số nguyên tố và trong dãy có số hạng bằng $ -1 $. Tì… Read More
  • Đề chọn ĐTQG tỉnh Đồng Tháp năm 2020-2021Bài 1. Với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, xét số thực $u_n 1$ sao cho phương trình $[u_n x]=x$ có đúng $n$ nghiệm nguyên (theo ẩn $x$ và $[u_nx]$ là phần nguyên của $u_nx$). Chứng minh rằng $[u_n] =1$, $\forall n \in \math… Read More
  • {Đề chọn ĐTQG Tỉnh Quảng Bình năm 2020-2021Bài 1. Cho dãy số thực xác $\left( {{x_n}} \right)$ định bởi $$\left\{ \begin{array}{l}& x_1=1\\ &x_{n+1}=\sqrt{6+\sqrt{2x_n+3}},\forall n\in\mathbb{N}^*.\end{array} \right.$$ Chứng minh rằng dãy số $\left(x_n\right)$ có gi… Read More
  • Đề chọn ĐTQG thành phố Cần Thơ năm 2020-2021Bài 1. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$\left\{ \begin{array}{l}&u_1=1\\&u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2n}{3u_n}, n\in \mathbb{N^*}.\end{array} \right.$$ Chứng minh rằng $\sqrt{n-1}\leq u_n\leq \sqrt{n}, \forall n \in \mathbb{N^*}… Read More
  • Đề chọn ĐTQG tỉnh Long An năm 2020-2021Bài 1 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned} &2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0\\ &x^2+y^2+x+y-4=0.\\ \end{aligned}\right. (x,y \in \mathbb{R})$ Lời giải Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có: $y^2-(x+1)y-2x^2+5x-2=0$. Khi đó $… Read More

0 nhận xét:

Đăng nhận xét