Bài 1. Giải hệ phương trình trên tập số thực \left\{ \begin{array}{l}&2x=y(1-x^2)\quad (1)\\&2y=z(1-y^2)\quad (2)\\&2z=x(1-z^2)\quad (3).\end{array} \right. |
Nhận thấy x=\pm 1 không là nghiệm của (1); y=\pm 1 không là nghiệm của
(2); z=\pm 1 không là nghiệm của (3).
Khi x\neq \pm 1, ta có y=\dfrac{2x}{1-x^2}. Đặt x=\tan \alpha, \left(-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}; \alpha\neq \pm\dfrac{\pi}{4}\right). Khi đó y=\dfrac{2x}{1-x^2}=\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}=\tan 2\alpha. Từ (2) suy ra z=\tan 4\alpha; từ (3) suy ra x=\tan 8\alpha.
Vậy \tan 8\alpha=\tan \alpha\Leftrightarrow \alpha=\dfrac{k\pi}{7}, (k\in\mathbb{Z}).
Do -\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}, \alpha\neq \pm\dfrac{\pi}{4} nên hệ có nghiệm là (0;0;0), \left(\tan\dfrac{\pi}{7};\tan\dfrac{2\pi}{7};\tan\dfrac{4\pi}{7}\right) và các hoán vị, \left(\tan\dfrac{-\pi}{7};\tan\dfrac{-2\pi}{7};\tan\dfrac{-4\pi}{7}\right) và các hoán vị.
Khi x\neq \pm 1, ta có y=\dfrac{2x}{1-x^2}. Đặt x=\tan \alpha, \left(-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}; \alpha\neq \pm\dfrac{\pi}{4}\right). Khi đó y=\dfrac{2x}{1-x^2}=\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}=\tan 2\alpha. Từ (2) suy ra z=\tan 4\alpha; từ (3) suy ra x=\tan 8\alpha.
Vậy \tan 8\alpha=\tan \alpha\Leftrightarrow \alpha=\dfrac{k\pi}{7}, (k\in\mathbb{Z}).
Do -\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2}, \alpha\neq \pm\dfrac{\pi}{4} nên hệ có nghiệm là (0;0;0), \left(\tan\dfrac{\pi}{7};\tan\dfrac{2\pi}{7};\tan\dfrac{4\pi}{7}\right) và các hoán vị, \left(\tan\dfrac{-\pi}{7};\tan\dfrac{-2\pi}{7};\tan\dfrac{-4\pi}{7}\right) và các hoán vị.
Bài 2. Cho dãy số (u_n) thoả mãn \left\{ \begin{array}{l}&u_1=1\\&u_{n+1}=\dfrac{2u_n^2+5u_n+2}{u_n^2+u_n+1}\end{array} \right., n\geq 1, n\in\mathbb{N}. Chứng minh dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. |
Ta thấy u_n > 0, \forall n\in\mathbb{N}^{\ast} và từ
u_{n+1}=\dfrac{2u_n^2+5u_n+2}{u_n^2+u_n+1}=2+\dfrac{3u_n}{u_n^2+u_n+1}
=3-\dfrac{u_n^2-2u_n+1}{u_n^2+u_n+1}
=3-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n^2+u_n+1}
suy ra 2 < u_n < 3, \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}.
Xét hàm số f(x)=\dfrac{2x^2+5x+2}{x^2+x+1}, x\in(2;3), ta có f'(x)=\dfrac{-3x^2+3}{(x^2+x+1)^2}=\dfrac{3(1-x^2)}{(x^2+x+1)^2} < 0,\;\forall x\in(2;3). Vậy, f(x) là hàm số nghịch biến trên (2;3).
Dãy số đã cho có thể viết dưới dạng \left\{ \begin{array}{l}&u_1=1\\&u_{n+1}=f(u_n),\;n\geq 1,\;n\in\mathbb{N}.\end{array} \right.
Ta thấy u_3=\dfrac{35}{13} cho nên 1=u_1 < u_3\Rightarrow f(u_1) > f(u_3)\Rightarrow u_2 > u_4\Rightarrow f(u_2) < f(u_3)\Rightarrow u_3 < u_5. Tương tự như vậy, ta suy ra
Xét (1), a=b, vậy \lim u_{2n}=\lim u_{2n+1}=a, khi đó a phải thoả a=\dfrac{2a^2+5a+2}{a^2+a+1}\Leftrightarrow a^3-a^2-4a-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}&a=-1\\&a=1-\sqrt{3}\\&a=1+\sqrt{3}.\end{array} \right. Do a\in\left[2;3\right] nên ta chọn a=1+\sqrt{3}.
Vậy dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn và \lim u_n=1+\sqrt{3}.
Xét hàm số f(x)=\dfrac{2x^2+5x+2}{x^2+x+1}, x\in(2;3), ta có f'(x)=\dfrac{-3x^2+3}{(x^2+x+1)^2}=\dfrac{3(1-x^2)}{(x^2+x+1)^2} < 0,\;\forall x\in(2;3). Vậy, f(x) là hàm số nghịch biến trên (2;3).
Dãy số đã cho có thể viết dưới dạng \left\{ \begin{array}{l}&u_1=1\\&u_{n+1}=f(u_n),\;n\geq 1,\;n\in\mathbb{N}.\end{array} \right.
Ta thấy u_3=\dfrac{35}{13} cho nên 1=u_1 < u_3\Rightarrow f(u_1) > f(u_3)\Rightarrow u_2 > u_4\Rightarrow f(u_2) < f(u_3)\Rightarrow u_3 < u_5. Tương tự như vậy, ta suy ra
- u_1 < u_3 < u_5 < \ldots Vậy dãy (u_{2n+1}) tăng và bị chặn trên bởi 3 nên tồn tại giới hạn hữu hạn là a\in\left[2;3\right];
- u_2 > u_4 > u_6 > \ldots Vậy dãy (u_{2n}) giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên tồn tại giới hạn hữu hạn là b\in\left[2;3\right].
Xét (1), a=b, vậy \lim u_{2n}=\lim u_{2n+1}=a, khi đó a phải thoả a=\dfrac{2a^2+5a+2}{a^2+a+1}\Leftrightarrow a^3-a^2-4a-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}&a=-1\\&a=1-\sqrt{3}\\&a=1+\sqrt{3}.\end{array} \right. Do a\in\left[2;3\right] nên ta chọn a=1+\sqrt{3}.
Vậy dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn và \lim u_n=1+\sqrt{3}.
Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho pq\mid (2^p+2^q). |
Xét p, q > 2. Đặt p=2^h\cdot n+1, q=2^k\cdot m+1, trong đó m, n là
các số nguyên dương lẻ, h, k\in\mathbb{Z}^+.
Ta có pq\mid 2^p+2^q\Rightarrow 0\equiv 2^p+2^q\equiv 2^p+2=2(2^{p-1}+1) (mod q) (theo định lý Fermat nhỏ).
Suy ra 2^{p-1}\equiv -1\;(\text{mod }q) \Rightarrow 2^{2^h\cdot n}\equiv -1\;(\text{mod }q)\tag{1}. Đặt x=2^n. Từ (1) ta được x^{2^h}\equiv -1 (mod q) \Rightarrow x^{2^{h+1}}=(x^{2^h})^2\equiv 1 (mod q) và x^{2^h}\not\equiv 1 (mod q).
Do đó ord_q(x)=2^{h+1} (ord_q(x) là cấp của x modulo q, là số nguyên dương nhỏ nhất thoả x^{ord_q(x)}\equiv 1\;(mod q)).
Ta chứng minh tính chất sau: \forall s\in\mathbb{Z}^+$, $x^s\equiv 1 (mod q) \Leftrightarrow ord_q(x)\mid s.\tag{2}
Tức là 2^{h+1}=ord_q(x)\mid q-1=2^k\cdot m\Rightarrow h+1\leq k. Tương tự ta có k+1\leq h. Suy ra h+2\leq k+1\leq h (mâu thuẫn). Vậy p=2 hoặc q=2.
Ta có pq\mid 2^p+2^q\Rightarrow 0\equiv 2^p+2^q\equiv 2^p+2=2(2^{p-1}+1) (mod q) (theo định lý Fermat nhỏ).
Suy ra 2^{p-1}\equiv -1\;(\text{mod }q) \Rightarrow 2^{2^h\cdot n}\equiv -1\;(\text{mod }q)\tag{1}. Đặt x=2^n. Từ (1) ta được x^{2^h}\equiv -1 (mod q) \Rightarrow x^{2^{h+1}}=(x^{2^h})^2\equiv 1 (mod q) và x^{2^h}\not\equiv 1 (mod q).
Do đó ord_q(x)=2^{h+1} (ord_q(x) là cấp của x modulo q, là số nguyên dương nhỏ nhất thoả x^{ord_q(x)}\equiv 1\;(mod q)).
Ta chứng minh tính chất sau: \forall s\in\mathbb{Z}^+$, $x^s\equiv 1 (mod q) \Leftrightarrow ord_q(x)\mid s.\tag{2}
- (\Leftarrow) Giả sử ord_q(x)\mid s, tức là s=ord_q(x)\cdot t, do đó x^s=\left(x^{ord_q(x)}\right)^t\equiv 1 (mod q).
- (\Rightarrow) Giả sử s\in\mathbb{Z}^+, x^s\equiv 1 (mod q).
Ta viết s=ord_q(x)\cdot t+r (0\leq r < ord_q(x)),
khi đó 1\equiv x^s=x^{ord_q(x)\cdot t}\cdot x^r\equiv x^r (mod q).
Do tính chất nhỏ nhất của ord_q(x) và x\leq r < ord_q(x) nên r=0, tức là ord_q(x)\mid s.
Tức là 2^{h+1}=ord_q(x)\mid q-1=2^k\cdot m\Rightarrow h+1\leq k. Tương tự ta có k+1\leq h. Suy ra h+2\leq k+1\leq h (mâu thuẫn). Vậy p=2 hoặc q=2.
- Nếu q=2 thì 0\equiv 2^p+2^q=2^p+4\equiv 2+4=6 (mod p) \Rightarrow p=2 hoặc p=3.
- Nếu p=2 thì 0\equiv 2^p+2^q=2^q+4\equiv 2+4 (mod q) \Rightarrow q=2 hoặc q=3.
Bài 4. Trong tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Một đường tròn (w) đi qua A và tiếp xúc với BC tại D cắt các đường thẳng BF, CE tương ứng tại K và L. Đường thẳng đi qua E và song song với DL cắt đường thẳng đi qua F và song song với DK tại P. Đặt R_1, R_2, R_3, R_4 lần lượt là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AFD, AED, FPD, EPD. Chứng minh rằng R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3. |
Trước hết ta chứng minh bổ đề:<> Cho hai đường tròn (O_1;R_1),
(O_2;R_2) tiếp
xúc trong tại I (R_1 > R_2). Gọi A, B là hai điểm bất kì thuộc
(O_1;R_1). Vẽ các tiếp tuyến AC, BD của (O_2;R_2) (C,
D\in(O_2;R_2)). Khi đó ta có \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{AC}{BD}.
Chứng minh.<>
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của IA, IB với (O_2;R_2).
Dễ thấy rằng EF\parallel AB.
Ta có \dfrac{AC^2}{BD^2}=\dfrac{AE\cdot AI}{BF\cdot BI}=\dfrac{AI^2}{BI^2} (do EF\parallel AB nên \dfrac{AI}{BI}=\dfrac{AE}{BF}) hay \dfrac{IA}{BI}=\dfrac{AC}{BD}.
Ta quay lại bài toán. Hình vẽ như sau
Áp dụng định lý sin ta có
{
\begin{align*}
&R_1=\dfrac{AD}{2\sin \widehat{AFD}}=\dfrac{AD}{2\sin \widehat{KFD}};\; R_2=\dfrac{AD}{2\sin \widehat{AED}}=\dfrac{AD}{2\sin \widehat{LED}}\\
&R_3=\dfrac{PD}{2\sin \widehat{PFD}}=\dfrac{PD}{2\sin \widehat{FDK}};\;R_4=\dfrac{PD}{2\sin \widehat{PED}}=\dfrac{PD}{2\sin \widehat{EDL}}.
\end{align*}
}Xét tỉ số A=\dfrac{R_1\cdot R_4}{R_2\cdot R_3}=\dfrac{\sin \widehat{LED}}{\sin\widehat{EDL}}\cdot\dfrac{\sin\widehat{FDK}}{\sin\widehat{KFD}}.
Áp dụng định lý sin cho các tam giác DFK, DEL, ta có A=\dfrac{FK}{DK}\cdot\dfrac{DL}{EL}.
Mặt khác, theo bổ đề trên, ta có \dfrac{DK}{DL}=\dfrac{KF}{LE}, nên suy ra A=1.
Vậy R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3.
Chứng minh.<>
Ta có \dfrac{AC^2}{BD^2}=\dfrac{AE\cdot AI}{BF\cdot BI}=\dfrac{AI^2}{BI^2} (do EF\parallel AB nên \dfrac{AI}{BI}=\dfrac{AE}{BF}) hay \dfrac{IA}{BI}=\dfrac{AC}{BD}.
Ta quay lại bài toán. Hình vẽ như sau
Áp dụng định lý sin cho các tam giác DFK, DEL, ta có A=\dfrac{FK}{DK}\cdot\dfrac{DL}{EL}.
Mặt khác, theo bổ đề trên, ta có \dfrac{DK}{DL}=\dfrac{KF}{LE}, nên suy ra A=1.
Vậy R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét