Đề chọn ĐTQG tỉnh Long An năm 2020-2021

Bài 1 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned} &2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0\\ &x^2+y^2+x+y-4=0.\\ \end{aligned}\right. (x,y \in \mathbb{R})$

Lời giải

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có: $y^2-(x+1)y-2x^2+5x-2=0$.
Khi đó $\Delta =(3x-3)^2$.
Ta tìm được $y=2x-1$; $y=2-x$.
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned} & y=2x-1 \\ & 5x^2-x-4=0 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=1 \\ \end{aligned} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{aligned} & x=-\dfrac{4}{5} \\ & y=-\dfrac{13}{5}. \\ \end{aligned} \right.$
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned} & y=2-x \\ & 2x^2-4x+2=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=1. \\ \end{aligned} \right.$

Bài 2 Cho hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+m+5$ ($m$ là tham số thực) có đồ thị là ($C_m$). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để ($C_m$) cắt trục $Ox$ tại $4$ điểm phân biệt $A$, $B$, $C$, $D$ thỏa mãn $AB=BC=CD$.

Lời giải

PTHĐGĐ $x^4-2(m+1)x^2+m+5=0$.
Đặt $t=x^2$, $t\ge 0$, ta có: $t^2-2(m+1)t+m+5=0$. \quad (1)
Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $4$ điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \Delta ' > 0 \\ & S > 0 \\ & P > 0. \\ \end{aligned} \right.$
Ta được $m > \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$. \quad $(\ast)$
Gọi hai nghiệm dương phân biệt là $t_1$, $t_2$ ($t_1 < t_2$).
Để $AB=BC=CD$ thì $t_2=9t_1$. Khi đó ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned} & t_1-9t_2=0\\ & t_1+t_2=2m+2\\ & t_1t_2=m+5.\\ \end{aligned} \right.$
Ta tìm được $t_1=\dfrac{m+1}{5}$; $t_1^2=\dfrac{m+5}{9}$.
Suy ra $\left(\dfrac{m+1}{5} \right)^2=\dfrac{m+5}{9}\Leftrightarrow 9m^2-7m-116=0 \Leftrightarrow m=4$ hoặc $m=-\dfrac{29}{9}$.
Kết hợp với (*) ta có $m=4$ là giá trị cần tìm.

Bài 3 Cho tam giác $ABC$ và điểm $O$ nằm trong tam giác này, $O$ không nằm trên các cạnh của tam giác. Các đường thẳng $AO$, $BO$, $CO$ theo thứ tự cắt $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Hai đường thẳng $BC$ và $NP$ cắt nhau tại $Q$. Hãy tính $U=\dfrac{\overline{MB}}{\overline{MC}}+\dfrac{\overline{QB}}{\overline{QC}}$. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Gọi $E$, $F$, $P$ lần lượt là giao điểm của $AD$ và $BC$, $AB$ và $CD$, $AC$ và $BD$; $O$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống $EF$.

Lời giải

1. \
   
   $\dfrac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \cdot \dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}} \cdot \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1$. \quad (1)
   $\dfrac{\overline{QB}}{\overline{QC}} \cdot \dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\cdot \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1$. \quad (2)
   Chia (1) cho (2) vế theo vế, ta có $U = 0$.
2. \
   
   Gọi $I$ là giao điểm của $EP$ với $CD$. Ta có $(DCIF)= - 1$.
   Gọi $J$ là giao điểm của $BD$ và $EF$. Ta có $E(DCIF)= - 1$ nên $E(DBPJ)=-1$.
   Suy ra $O\left( DBPJ \right)=-1$.
   Mà $OP\perp OJ$ nên ta có $OP$ là phân giác $\widehat{DOB}\Rightarrow \widehat{DOP}=\widehat{BOP}$.

Bài 4 Một ngôi làng có $20$ ngôi nhà. Biết rằng mỗi ngôi nhà đều có đường đi đến ít nhất $10$ ngôi nhà khác; nếu có đường đi từ nhà A đến nhà B, từ nhà B đến nhà C thì có đường đi từ nhà A đến nhà C và tất cả các đường đi đều là đường hai chiều. Khẳng định: hai ngôi nhà bất kỳ luôn có đường đi đến nhau là đúng hay sai? Tại sao?

Lời giải

Giả sử có hai ngôi nhà không có đường đi đến nhau. Khi đó ngôi làng được chia thành các nhóm ngôi nhà mà mỗi nhóm có tính chất: hai ngôi nhà trong nhóm đều có đường đi đến nhau
Suy ra có một nhóm có không quá $10$ ngôi nhà
Khi đó mỗi ngôi nhà trong nhóm này có đường đi đến nhiều nhất 9 ngôi nhà khác: vô lý

Bài 5 Tìm một đa thức với hệ số hữu tỷ nhận $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là nghiệm. Tìm một đa thức với hệ số hữu tỷ và có bậc nhỏ nhất nhận $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ là nghiệm.

Lời giải

1. Đặt $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Ta có $(x-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2$.
   Suy ra $(x^2-1)^2=(2x\sqrt{2})^2$.
   Ta được $x^4-10x^2+1$.
2. Đặt $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$, $m(x)={{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1$.
   Giả sử $p(x)$ là đa thức với hệ số hữu tỷ và có bậc nhỏ nhất nhận $\alpha$ là nghiệm, bậc của $p(x)$ nhỏ hơn $4$.
   Khi đó $m(x)=p(x) \cdot q(x)+r(x)$, bậc của $r(x)$ nhỏ hơn bậc của $p(x)$.
   Do $r(\alpha )=0$ nên ta có $r(x)=0$.
   Đặt $m(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$; $x^2+ax+b,x^2+cx+d$ là các đa thức với hệ số hữu tỷ.
   Ta có $\left\{ \begin{aligned} & a+c=0 \\ & b+d+ac=-10 \\ & ad+bc=0 \\ & bd=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-c \\ & d+\dfrac{1}{d}-{{c}^{2}}=-10 \quad (1) \\ & -cd+\dfrac{c}{d}=0\ \quad (2) \\ & b=\dfrac{1}{d}. \\ \end{aligned} \right.$
   Ta được $d^2+10d+1=0$; $c^2=12$; $c^2=8$ (hoặc $b^2+10b+1=0$; $a^2=12$; $a^2=8$): vô lý.

Bài 6 Cho $a > 1$ và dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=a$ và $x_{n+1}=\sqrt{ax_n^2+3x_n+2020}, \quad \forall n \geq 1.$ Xét tính tăng giảm của dãy số trên. Tìm tất cả các giá trị của $a$ để $\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=2020$.

Lời giải

1. Dùng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được $x_n > 0$, $\forall n\ge 1$.
   $x_{n+1}=\sqrt{ax_n^2+3x_n+2020} \Rightarrow x_{n+1} > \sqrt{ax_n^2}=x_n\sqrt{a}$ $\Rightarrow x_{n+1} > x_n,\forall n\ge 1$.
2. Giả sử dãy $(x_n)$ bị chặn trên. Suy ra $\lim x_n=\alpha$ với $\alpha \ge 0$.
   $\alpha =\sqrt{a\alpha ^2+3\alpha +2020}\Leftrightarrow (a-1)\alpha ^2+3\alpha +2020=0:$ vô lý vì $\alpha \ge 0$, $a > 1$.
   Do đó $\lim x_n=+\infty$.
   Khi đó $x_{n+1}=\sqrt{ax_n^2+3x_n+2020}\Leftrightarrow \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\sqrt{a}+\dfrac{3}{x_n}+\dfrac{2020}{x_n^2}$.
   Suy ra $\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=2020\Leftrightarrow \sqrt{a}=2020\Leftrightarrow a=2020^2$.

Bài 7 Cho đường tròn $(O)$ có dây cung $AB$. Một đường tròn $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại điểm $C$ và tiếp xúc với dây cung $AB$ tại điểm $D$. Với cung $\overset\frown{AB}$ không chứa điểm $C$, gọi $E$ là điểm chính giữa của cung này. Các điểm $C$, $D$ và điểm $E$ có thẳng hàng không? Tại sao? Cho tam giác $ABC$ không là tam giác cân. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $I$. Với cung $\overset\frown{AB}$ có chứa điểm $A$, gọi $K$ là điểm chính giữa của cung này. Đường thẳng $KI$ cắt $BC$ tại $G$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$, $E$ khác $K$. Đường tròn $J$ tiếp xúc với dây cung $BC$ tại $G$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $F$, $F$ và $E$ nằm khác phía đối với đường thẳng $BC$ Các đường thẳng $EF$, $JK$ và $BC$ có đồng quy không? Tại sao?

Lời giải

1. \
   
   $O$, $C$, $I$ thẳng hàng.
   $\widehat{DCO}=\dfrac{180^\circ-\widehat{CID}}{2}$.
   $\widehat{ECO}=\dfrac{180^\circ-\widehat{COE}}{2}$.
   $\widehat{CID}=\widehat{COE}$
   $\widehat{DCO}=\widehat{ECO}$.
2. \
   
   Kẻ đường kính $DK$ của đường tròn $(O)$. Ta có $F$, $G$, $D$ thẳng hàng.
   Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ và $KD$. Tam giác $GDK$ có $3$ đường cao $NG$, $DE$, $KF$ đồng quy tại trực tâm $S$ và $G$ cũng là trực tâm tam giác $SKD$.
   $G$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $FEN$.
   Gọi $T$ là giao điểm của $BC$ và $EF$. Ta có $FS$, $FG$ là phân giác ngoài và trong của $\widehat{TFN}$
   $\Rightarrow (SGTN)=-1$. \quad (1)
   $L$ là giao điểm của $FO$ và $KE$. Ta có $\dfrac{LJ}{LO}=\dfrac{JG}{OK}=\dfrac{GJ}{OD}=\dfrac{FJ}{FO}$ nên $(FLJO)=-1$.
   $K(FLJO)=-1$. Gọi $T'$ là giao điểm của $BC$ và $KJ$. Ta có $(SGT'N)=-1$. \quad (2).
   Từ (1) và (2) suy ra $T \equiv T'$.