Bài 1 Giải hệ phương trình \left\{\begin{aligned} &2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0\\ &x^2+y^2+x+y-4=0.\\ \end{aligned}\right. (x,y \in \mathbb{R}) |
Lời giải
Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có: y^2-(x+1)y-2x^2+5x-2=0.Khi đó \Delta =(3x-3)^2.
Ta tìm được y=2x-1; y=2-x.
Trường hợp 1: \left\{ \begin{aligned} & y=2x-1 \\ & 5x^2-x-4=0 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=1 \\ \end{aligned} \right. hoặc \left\{ \begin{aligned} & x=-\dfrac{4}{5} \\ & y=-\dfrac{13}{5}. \\ \end{aligned} \right.
Trường hợp 2: \left\{ \begin{aligned} & y=2-x \\ & 2x^2-4x+2=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=1. \\ \end{aligned} \right.
Bài 2 Cho hàm số y=x^4-2(m+1)x^2+m+5 (m là tham số thực) có đồ thị là (C_m). Tìm tất cả các giá trị của m để (C_m) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn AB=BC=CD. |
Lời giải
PTHĐGĐ x^4-2(m+1)x^2+m+5=0.Đặt t=x^2, t\ge 0, ta có: t^2-2(m+1)t+m+5=0. \quad (1)
Đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \Delta ' > 0 \\ & S > 0 \\ & P > 0. \\ \end{aligned} \right.
Ta được m > \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}. \quad (\ast)
Gọi hai nghiệm dương phân biệt là t_1, t_2 (t_1 < t_2).
Để AB=BC=CD thì t_2=9t_1. Khi đó ta có hệ phương trình:
\left\{ \begin{aligned} & t_1-9t_2=0\\ & t_1+t_2=2m+2\\ & t_1t_2=m+5.\\ \end{aligned} \right.
Ta tìm được t_1=\dfrac{m+1}{5}; t_1^2=\dfrac{m+5}{9}.
Suy ra \left(\dfrac{m+1}{5} \right)^2=\dfrac{m+5}{9}\Leftrightarrow 9m^2-7m-116=0 \Leftrightarrow m=4 hoặc m=-\dfrac{29}{9}.
Kết hợp với (*) ta có m=4 là giá trị cần tìm.
Bài 3
|
Lời giải
- \
\dfrac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \cdot \dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}} \cdot \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1. \quad (1)
\dfrac{\overline{QB}}{\overline{QC}} \cdot \dfrac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\cdot \dfrac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1. \quad (2)
Chia (1) cho (2) vế theo vế, ta có U = 0. - \
Gọi I là giao điểm của EP với CD. Ta có (DCIF)= - 1.
Gọi J là giao điểm của BD và EF. Ta có E(DCIF)= - 1 nên E(DBPJ)=-1.
Suy ra O\left( DBPJ \right)=-1.
Mà OP\perp OJ nên ta có OP là phân giác \widehat{DOB}\Rightarrow \widehat{DOP}=\widehat{BOP}.
Bài 4 Một ngôi làng có 20 ngôi nhà. Biết rằng mỗi ngôi nhà đều có đường đi đến ít nhất 10 ngôi nhà khác; nếu có đường đi từ nhà A đến nhà B, từ nhà B đến nhà C thì có đường đi từ nhà A đến nhà C và tất cả các đường đi đều là đường hai chiều. Khẳng định: hai ngôi nhà bất kỳ luôn có đường đi đến nhau là đúng hay sai? Tại sao? |
Lời giải
Giả sử có hai ngôi nhà không có đường đi đến nhau. Khi đó ngôi làng được chia thành các nhóm ngôi nhà mà mỗi nhóm có tính chất: hai ngôi nhà trong nhóm đều có đường đi đến nhauSuy ra có một nhóm có không quá 10 ngôi nhà
Khi đó mỗi ngôi nhà trong nhóm này có đường đi đến nhiều nhất 9 ngôi nhà khác: vô lý
Bài 5
|
Lời giải
- Đặt x=\sqrt{2}+\sqrt{3}. Ta có (x-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2.
Suy ra (x^2-1)^2=(2x\sqrt{2})^2.
Ta được x^4-10x^2+1. - Đặt \alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}, m(x)={{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1.
Giả sử p(x) là đa thức với hệ số hữu tỷ và có bậc nhỏ nhất nhận \alpha là nghiệm, bậc của p(x) nhỏ hơn 4.
Khi đó m(x)=p(x) \cdot q(x)+r(x), bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của p(x).
Do r(\alpha )=0 nên ta có r(x)=0.
Đặt m(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d); x^2+ax+b,x^2+cx+d là các đa thức với hệ số hữu tỷ.
Ta có \left\{ \begin{aligned} & a+c=0 \\ & b+d+ac=-10 \\ & ad+bc=0 \\ & bd=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-c \\ & d+\dfrac{1}{d}-{{c}^{2}}=-10 \quad (1) \\ & -cd+\dfrac{c}{d}=0\ \quad (2) \\ & b=\dfrac{1}{d}. \\ \end{aligned} \right.
Ta được d^2+10d+1=0; c^2=12; c^2=8 (hoặc b^2+10b+1=0; a^2=12; a^2=8): vô lý.
Bài 6 Cho a > 1 và dãy số (x_n) xác định bởi x_1=a và x_{n+1}=\sqrt{ax_n^2+3x_n+2020}, \quad \forall n \geq 1.
|
Lời giải
- Dùng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được x_n > 0, \forall
n\ge
1.
x_{n+1}=\sqrt{ax_n^2+3x_n+2020} \Rightarrow x_{n+1} > \sqrt{ax_n^2}=x_n\sqrt{a} \Rightarrow x_{n+1} > x_n,\forall n\ge 1. - Giả sử dãy (x_n) bị chặn trên. Suy ra
\lim x_n=\alpha với \alpha \ge 0.
\alpha =\sqrt{a\alpha ^2+3\alpha +2020}\Leftrightarrow (a-1)\alpha ^2+3\alpha +2020=0: vô lý vì \alpha \ge 0, a > 1.
Do đó \lim x_n=+\infty.
Khi đó x_{n+1}=\sqrt{ax_n^2+3x_n+2020}\Leftrightarrow \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\sqrt{a}+\dfrac{3}{x_n}+\dfrac{2020}{x_n^2}.
Suy ra \lim \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=2020\Leftrightarrow \sqrt{a}=2020\Leftrightarrow a=2020^2.
Bài 7
|
Lời giải
- \
O, C, I thẳng hàng.
\widehat{DCO}=\dfrac{180^\circ-\widehat{CID}}{2}.
\widehat{ECO}=\dfrac{180^\circ-\widehat{COE}}{2}.
\widehat{CID}=\widehat{COE}
\widehat{DCO}=\widehat{ECO}. - \
Kẻ đường kính DK của đường tròn (O). Ta có F, G, D thẳng hàng.
Gọi N là giao điểm của BC và KD. Tam giác GDK có 3 đường cao NG, DE, KF đồng quy tại trực tâm S và G cũng là trực tâm tam giác SKD.
G là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác FEN.
Gọi T là giao điểm của BC và EF. Ta có FS, FG là phân giác ngoài và trong của \widehat{TFN}
\Rightarrow (SGTN)=-1. \quad (1)
L là giao điểm của FO và KE. Ta có \dfrac{LJ}{LO}=\dfrac{JG}{OK}=\dfrac{GJ}{OD}=\dfrac{FJ}{FO} nên (FLJO)=-1.
K(FLJO)=-1. Gọi T' là giao điểm của BC và KJ. Ta có (SGT'N)=-1. \quad (2).
Từ (1) và (2) suy ra T \equiv T'.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét