Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, tìm số thực M_n lớn nhất sao cho với mọi số thực dương x_1,x_2,\ldots ,x_n thì ta đều có \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k^2}}+\dfrac {1}{\left( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{x_k}\right)^2}\ge M_n\left( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k}}+\dfrac {1}{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{x_k}}\right)^2. |
Lời giải
Điều kiện cần. Với x_1=x_2=\cdots =x_n=1, ta có n+\dfrac {1}{n^2}\ge M_n\left( n+\dfrac {1}{n} \right)^2 \text{ hay } M_n\le \dfrac {n^3+1}{(n^2+1)^2}. Điều kiện đủ. Ta sẽ chứng minh hằng số trên thỏa mãn điều kiện đề bài, tức là \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k^2}}+\dfrac {1}{\left( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{x_k} \right)^2}\ge \dfrac {n^3+1}{(n^2+1)^2}\left( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k}}+\dfrac {1}{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{x_k}} \right)^2.\quad (*) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k^2}}\ge \dfrac {1}{n}\left( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k}} \right)^2. Đến đây, đặt a=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac {1}{x_k}},b=\dfrac {1}{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{x_k}} là các số dương, ta đưa về chứng minh \dfrac {a^2}{n}+b^2\ge \dfrac {n^3+1}{(n^2+1)^2}(a+b)^2. Chú ý rằng a\ge n^2b nên quy đồng và khai triển, ta có (a-n^2b)[ (2n^2-n+1)a-(n^3-n^2+2n)b ]\ge 0. Chú ý rằng n^2(2n^2-n+1)-(n^3-n^2+2n)=2(n^2+1)n(n-1)\ge 0 nên (2n^2-n+1)a\ge n^2(2n^2-n+1)b\ge (n^3-n^2+2n)b. Bất đẳng thức cuối đúng nên (*) đúng. Vậy hằng số tốt nhất cần tìm là M_{\max }=\dfrac {n^3+1}{(n^2+1)^2}.Bài 2. Cho 2021 số nguyên khác 0 Biết rằng tổng của một số bất kỳ trong chúng với tích của tất cả 2020 số còn lại luôn âm.
|
Lời giải
Đặt các số đã cho là a_1,a_2,\ldots ,a_{2021} và S là tích của tất cả số này. Theo đề bài thì a_k+\dfrac {S}{a_k}=\dfrac {a_k^2+S}{a_k} < 0 \text{ với mọi } k=1{,}2,\ldots ,2021 . Nếu như S > 0 thì rõ ràng theo trên, ta phải có a_k < 0,\forall k, nhưng điều này vô lý vì khi đó S là tích của 2021 số âm nên cũng âm.Do đó, S < 0 và trong các số đã cho, có lẻ số âm.
Nếu như số lượng số âm là lớn hơn 1, giả sử hai trong các số đó là a_1, a_2 và | a_2 |\ge | a_1 | . Khi đó, ta có a_2a_3\ldots a_{2021} > 0 (do trong các số này có chẵn số âm) và | a_2a_3\ldots a_{2021} |\ge | a_1 | \text{ nên } a_1+a_2a_3\ldots a_{2021}\ge 0. Điều vô lý này cho thấy không thể có nhiều hơn 1 số âm, và vì thế nên có đúng một số âm. Giả sử a_1 là số âm duy nhất đó thì ta có a_1+a_2a_3\ldots a_{2021} < 0 \text{ nên } | a_1 | > a_2a_3\ldots a_{2021}. Với mọi cách chia 2021 số đã cho thành hai nhóm thì sẽ có một nhóm chứa số âm là a_1, đồng thời, giá trị tuyệt đối của tích các số trong nhóm đó, vì có chứa | a_1 |, nên sẽ lớn hơn tích các số của nhóm còn lại. Suy ra tổng của hai tích sẽ âm.
Do đó, ta có khẳng định ở câu a) và đáp số cho câu b) là 1.
Bài 3. Cho hai hàm số f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} và g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn g(2020) > 0 và \left\{ \begin{array}{l} &f(x-g(y))=f(-x+2g(y))+xg(y)-6\\ &g(y)=g(2f(x)-y)\end{array} \right. với mọi x,y\in\mathbb{R} .
|
Lời giải
- Trong điều kiện thứ nhất, thay x\to g(y) và 2g(y), ta có
\begin{array}{l}
f(0)=f(g(y))+g^2(y)-6; \\
f(g(y))=f(0)+2g^2(y)-6.
\end{array}
Cộng lại, ta được 3g^2(y)=12 hay g(y)=\pm 2 với mọi y .
Do g(2020) > 0 nên loại trường hợp g(y)=-2,\forall y . Ta sẽ chỉ ra rằng không xảy ra trường hợp \exists a\ne b sao cho g(a)=2,g(b)=-2 . Thay y=2020 vào điều kiện đầu, ta có f(x-c)-f(-x+2c)=xc-6 \text{ với } c=g(2020) > 0. Suy ra f(u)-f(v) toàn ánh trên \mathbb{R} với u,v\in \mathbb{R} .
Tiếp theo trong điều kiện sau, thay y bởi a, b, ta có g(a)=g(2f(x)-a)=2;g(b)=g(2f(x)-b)=-2 \text{ với mọi } x\in \mathbb{R}. Lại do tính toàn ánh, chọn u, v sao cho f(u)-f(v)=\dfrac {a-b}{2} thì 2f(u)-a=2f(v)-b. Suy ra 2=g(2f(u)-a)=g(2f(v)-b)=-2, điều này vô lý nên trường hợp này không xảy ra. Vì thế g(x)=2,\forall x nên g là hàm hằng.
- Với g(x)=2,\forall x, thay vào điều kiện đầu, ta có f(x-2)=f(-x+4)+2x-6 hay f(x)=f(2-x)+2x-2 \text{ hay } f(x)-x=f(2-x)-(2-x). Điều này cho thấy h(x)=h(2-x) hay h(x) có đồ thị nhận x=1 là trục đối xứng.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O) có trực tâm H và AH, BH, CH cắt cạnh đối diện lần lượt tại D, E, F. Gọi I, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, HB, HC và BH, CH cắt lại (O) theo thứ tự tại các điểm L, K. Giả sử KL cắt MN ở G.
|
Lời giải
- Giả sử tia IH cắt (O) ở R thì theo kết quả quen thuộc, ta có \widehat{ARH}=90^\circ . Vì thế nên T\in AR. Bằng cách xét trục đẳng phương của các đường tròn đường kính AH, BC và đường tròn (O), ta có AR, EF, BC đồng quy. Từ đó suy ra T\in BC.
Gọi (O') là đường tròn Euler của tam giác ABC thì D, E, F, M, N\in (O) . Dễ thấy rằng
HM\cdot HK=\dfrac {1}{2}HB\cdot HK=\dfrac {1}{2}HC\cdot HL=HN\cdot HL
nên M, N, K, L cùng thuộc đường tròn. Suy ra
GL\cdot GK=GM\cdot GN \text{ nên } \mathrm{P}_{G/(O)}=\mathrm{P}_{G/(O')}.
Ngoài ra, ta cũng có \mathrm{P}_{T/(O)}=\mathrm{P}_{T/(O')} nên GT chính là trục đẳng phương của (O), (O'). Điều này cho thấy GT\perp OO' hay GT\perp OH (do O' là trung điểm của OH).
- Ta có DH là phân giác của góc PDQ, và PQ\perp HD nên dễ thấy tứ giác HPDQ là hình thoi. Ta biến đổi góc như sau
\widehat{ HPQ}=\widehat{ DQP}=\widehat{ QDB}=\widehat{ FHB}.
Suy ra \widehat{ HPN}=\widehat{ MHN} nên HN tiếp xúc với (HMP) hay NP\cdot NM=NH^2=NC^2 .
Do đó, hai tam giác NPC và NCM đồng dạng với nhau. Suy ra \widehat{ NCP}=\widehat{ NMC}=\widehat{ MCB}, nên CP là đối trung của tam giác HBC. Chứng minh tương tự thì BQ là đối trung trong tam giác HBC nên điểm S chính là điểm Lemoine của tam giác này, kéo theo HS cũng là đối trung của tam giác HBC. Lại có EF là đối song ứng với đỉnh H trong tam giác HBC nên suy ra HS chia đôi đoạn thẳng EF.
Bài 5. Cho số nguyên dương n > 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a\in\left(0;\dfrac{1}{n}\right) và mọi đa thức P(x) có bậc 2n-1 thỏa mãn điều kiện P(0)=P(1)=0, luôn tồn tại các số thực x_1,x_2 thuộc [0;1] sao cho P(x_1)=P(x_2)\text{ và }x_2-x_1=a . |
Lời giải
Không mất tính tổng quát, giả sử không tồn tại các số x_1, x_2 thỏa mãn đề bài. Khi đó, xét đa thức Q(x)=P(x+a)-P(x) sẽ vô nghiệm trên [0;1-a]. Suy ra Q(x) sẽ không đổi dấu trên miền đó vì nếu không, dùng tính liên tục thì sẽ mâu thuẫn. Không mất tính tổng quát, giả sử Q(x) > 0,\forall x\in[0;1-a]. Nhận xét rằng \dfrac {1}{a}\notin\mathbb{Z}^+ vì nếu không, đặt \dfrac {1}{a}=m\in\mathbb{Z}^+ thì ta sẽ có ma=1 và Q(a)+Q(2a)+\cdots+Q((m-1)a)=P(1)-P(0)=0, trong khi các số hạng ở vế trái đều dương, vô lý.Tiếp theo, ta có Q(a)=P(a)-P(0) > 0\Rightarrow P(a) > 0. Chứng minh tương tự thì P(ka) > 0,\forall k=1{,}2,\ldots,n Mặt khác, Q(1-a)=P(1)-P(1-a)=-P(1-a) > 0 nên P(1-a) < 0. Tương tự thì P(1-\ell a) < 0,\forall \ell=1{,}2,\ldots,n Rõ ràng với mỗi k\in\{1{,}2,\ldots,n\}, ta luôn chọn được số nguyên \ell_k\in\{1{,}2,\ldots,n\} để (k-1)a < 1-\ell_ka < ka. Thật vậy, đánh giá này tương đương với \dfrac {1}{a}-k < \ell_k < \dfrac {1}{a}+1-k. Mà a\in(0;\dfrac {1}{n}) nên \dfrac {1}{a}-k > 0 và \dfrac {1}{a}-k\notin\mathbb{Z} nên khoảng trên phải chứa một số nguyên và gọi số đó là \ell_k. Theo trên thì P((k-1)a) > 0, P(1-\ell_ka) < 0, P(ka) > 0 nên trên khoảng ((k-1)a;ka) thì đa thức P(x) có 2 nghiệm thực phân biệt.
Áp dụng điều này cho tất cả các khoảng (0;a),(a;2a),\ldots,((n-1)a;na) thì ta thấy P(x) sẽ có 2n nghiệm thực phân biệt; trong khi P(x) chỉ có bậc 2n-1, vô lý.
Vì thế nên điều giả sử là sai và tồn tại hai số thực x_1,x_2\in [0;1] thỏa mãn đề bài.
Bài 6. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương \left(x^2+3\right)^{3^{x+1}}\left[\left(x^2+3\right)^{3^{x+1}}+1\right]+x^2+y=x^2y. |
Lời giải
Dễ thấy x=1 không thỏa nên ta xét x > 1. Thử trực tiếp thấy x=2 thỏa mãn. Xét x > 2, kéo theo x^2-1 > 3. Phương trình đã cho viết lại thành \begin{array}{ll} & (x^2+3)^{3^{x+1}}[ (x^2+3)^{3^{x+1}}+1 ]+1=(y-1)(x^2-1) \\ \Leftrightarrow & x^2-1|(x^2+3)^{3^{x+1}}[ (x^2+3)^{3^{x+1}}+1 ]+1 \\ \Leftrightarrow & 4^{3^{x+1}}( 4^{3^{x+1}}+1 )+1\equiv 0\,(\bmod\, x^2-1)\cdot \\ \end{array} Đặt a=4^{3^{x+1}} thì ta có a^2+a+1\equiv 0\,(\bmod x^2-1) nên a^3\equiv 1\,(\bmod\, x^2-1)\text{ hay }4^{3^{x+2}}\equiv 1\,(\bmod\, x^2-1). Lại chú ý rằng a=4^{3^{x+1}}=4^{3\cdot 3^x}=(4^3)^{3^x}\equiv 1\,(\bmod\, 9) nên nếu đặt M=a^2+a+1 thì M\equiv 3\,(\bmod\, 9).Điều này cho thấy v_3(M)=1 nên v_3\left(x^2-1\right)\le 1. Mà x^2-1 > 3 và dễ thấy x^2-1 lẻ nên x^2-1 phải có một ước nguyên tố lẻ p > 3 .
Đặt h=\text{ord}_p(4) thì h|p-1 và h|3^{x+2}. Suy ra h=3^k với 0\le k\le x+2. Tuy nhiên, nếu k\le x+1 thì 4^{3^k}\equiv 1\,(\bmod\, p) mà 4^{3^k}-1|a-1 \text{ nên } a\equiv 1\,(\bmod\, p) Điều này vô lý do sẽ kéo theo 0\equiv a^2+a+1\equiv 3\,(\bmod\, p) . Vì thế nên k=x+2 hay \text{ord}_p(4)=3^{x+2} \text{ nên } h=3^{x+2}\le p-1\le x-1. Tuy nhiên, đánh giá này là không thể xảy ra với mọi x > 2. Vì thế nên nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là (x;y)=\left( 2;\dfrac {7^{27}(7^{27}+1)+4}{3} \right).
Bài 7. Cho các số nguyên n > k > t > 0 và X=\{1{,}2,\ldots ,n\}. Gọi \mathcal{F} là họ các tập con có k phần tử của tập hợp X sao cho với mọi F,F'\in \mathcal{F} thì | F\cap F' |\ge t. Giả sử không có tập con có t phần tử nào được chứa trong tất cả các tập F\in \mathcal{F}. [1] |
Lời giải
a) Theo giả thiết thì rõ ràng | \mathcal{F} |\ge 3, vì nếu không thì điều kiện ii) sẽ không được thỏa mãn. Ta xét các trường hợp sauNếu như mọi tập F,F'\in \mathcal{F} đều có tính chất | F\cap F' |\ge t+1 thì ta chỉ cần chọn B là một tập bất kỳ trong \mathcal{F} là được, rõ ràng | B |=k < 3k, thỏa mãn đề bài.
Ngược lại, tồn tại hai tập F,F'\in \mathcal{F} mà | F\cap F' |=t thì theo giả thiết, không có tập con t phần tử nào được chứa trong tất cả tập hợp của họ \mathcal{F}; vì thế nên phải có {F'}' sao cho (F\cap F')\not\subset {F'}'. Mặt khác, vì | {{F'}'} |=k > t nên phải có phần tử trong {F'}' mà không thuộc vào F\cap F' . Khi đó, xét B=F\cup F'\cup {F'}' thì rõ ràng | B |\le | F\cup F' |+| {{F'}'} |\le 2k-t+k < 3k . Ta sẽ chứng minh rằng tập hợp này thỏa mãn đề bài. Thật vậy, xét tập G\in \mathcal{F}:
- Nếu G là một trong ba tập F, F', {F'}' thì có ngay | B\cap G |\ge k\ge t+1.
- Nếu G\ne F,F',{F'}' thì nếu | G\cap F |\ge t+1 hoặc | G\cap F' |\ge t+1 là xong; ngược lại | G\cap F |=t và t phần tử chung này không đồng thời thuộc {F'}', nên sẽ còn một phần tử chung khác giữa G, {F'}' do | G\cap {F'}' |\ge t, kéo theo | B\cap G |\ge t+1 .
b) Ta thực hiện xây dựng một họ {\mathcal{F}}' các tập con của X như sau:
- Chọn t+1 phần tử nào đó trong tập B ở trên, số cách chọn sẽ nhỏ hơn \mathrm{C}_{3k}^{t+1}.
- Chọn k-t-1 phần tử nào đó trong tập X thì có \mathrm{C}_n^{k-t-1} cách.
Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) với B, C cố định và A thay đổi trên cung lớn BC. Dựng hình bình hành ABDC và AD cắt lại (BCD) ở K. [1] |
Lời giải
a) Gọi R là bán kính của (O), ta có \widehat{ AKB}=180^\circ -\widehat{ BKD}=\widehat{ BCD}=\widehat{ ABC}, nên theo định lý sin thì R_1=\dfrac {AB}{2\sin AKB}=\dfrac {2R\sin C}{2\sin B}=R\cdot \dfrac {\sin C}{\sin B} Tương tự thì R_2=R\cdot \dfrac {\sin B}{\sin C} nên R_1R_2=R^2, không đổi.b) Do các tiếp tuyến nên biến đổi góc được \widehat{ KLB}=180^\circ -\widehat{ KBD},\widehat{ KLC}=180^\circ -\widehat{ KCD}. Suy ra \widehat{ KLB}+\widehat{ KLC}=360^\circ -\left(\widehat{ KBD}+\widehat{ KCD}\right)=180^\circ nên B, L, C thẳng hàng.
Do BD tiếp xúc với (KBL) nên \widehat{ BKL}=\widehat{ LBD}=\widehat{ CKD}, mà KD là trung tuyến của tam giác KBC nên KL là đối trung của tam giác này.
Gọi I là trung điểm BC. Ta có \widehat{ KBI}=\widehat{ KDC}=\widehat{ BAK}. nên BC tiếp xúc với (ABK). Suy ra \dfrac {BK}{AB}=\dfrac {IK}{IA}.
Chứng minh tương tự thì \dfrac {CK}{AC}=\dfrac {IK}{IA} nên \dfrac {KB}{KC}=\dfrac {AB}{AC}.
Theo tính chất quen thuộc của đường đối trung thì \dfrac {LB}{LC}=\dfrac {KB^2}{KC^2}=\dfrac {AB^2}{AC^2} nên AL cũng là đường đối trung của tam giác ABC, điều này cho thấy AL đi qua giao điểm hai tiếp tuyến của (O) ở B, C, là điểm cố định.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét