Đề chọn ĐTQG tỉnh Tây Ninh năm học 2020-2021 (ngày 1)

Bài 1. Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực dương và $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của từng biểu thức sau $A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$. $B=\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}$.

Lời giải

1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có \[A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}.\] Vậy $\min A=\dfrac{3}{2}$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$.
2. Ta có \[\dfrac{1}{x^2+1}=1-\dfrac{x^2}{x^2+1}\geq 1-\dfrac{x^2}{2x}=1-\dfrac{x}{2}.\] Tương tự, \[\dfrac{1}{y^2+1}\geq 1-\dfrac{y}{2} \quad ;\quad \dfrac{1}{z^2+1}\geq 1-\dfrac{z}{2}.\] Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được \[B\geq 3-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}.\] Vậy $\min B=\dfrac{3}{2}$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn \[f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y),\ \forall x,y\in\mathbb{R}.\]

Lời giải

Xét phương trình $f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y),\ \forall x,y\in\mathbb{R}$. (1)
Thay $y$ bởi $0$ vào (1) ta được \begin{align*} f\left(f(x)\right)=4x,\,\forall x\in\mathbb{R}, \tag{2} \end{align*} từ đó, suy ra $f$ là song ánh, hơn nữa, \[f(f(0))=4\cdot 0=0\Rightarrow f(0)=f(f(f(0)))=4f(0)\Rightarrow f(0)=0.\] Thay $x$ bởi $0$, $y$ bởi $x$ vào (1) ta được \begin{align*} f\left(xf(x)\right)=2xf(x). \tag{3} \end{align*} Thay $x=1$ vào (2) và (3) ta được \[f(f(1))=4=2f(1)\Rightarrow f(1)=2.\] Thay $y$ bởi $1-x$ vào (1) ta được \begin{eqnarray*} && f((1-x)f(1)+f(x))=4x+2(1-x)f(1)\\ &\Rightarrow& f(2-2x+f(x))=4 \\ &\Rightarrow& f(2-2x+f(x))=f(f(1))=f(2)\\ &\Rightarrow& 2-2x+f(x)=2 \qquad \text{(do $f$ là song ánh)}\\ &\Rightarrow& f(x)=2x,\,\forall x\in\mathbb{R}. \end{eqnarray*} Thử lại thấy thỏa mãn đề bài.
Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=2x,\,\forall x\in\mathbb{R}$.

Bài 3. Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân. Gọi $H$, $O$ lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$; $D$, $E$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A$, $B$ của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $OD$ và $BE$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $OE$ và $AD$ cắt nhau tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Chứng minh rằng ba điểm $K$, $L$, $M$ thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm $C$, $D$, $O$, $H$ cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $HAB$ và ba điểm $K$, $L$, $M$, ta thấy $K$, $L$, $M$ thẳng hàng khi và chỉ khi \begin{align*} \dfrac{\overline{KB}}{\overline{KH}}\cdot\dfrac{\overline{LH}}{\overline{LA}}\cdot\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=1\Leftrightarrow\dfrac{\overline{KB}}{\overline{KH}}=-\dfrac{\overline{LA}}{\overline{LH}}. \tag{1} \end{align*} Mặt khác, dễ thấy \begin{align*} \dfrac{KB}{KH}=\dfrac{S_{BOD}}{S_{HOD}}\quad \text{và} \quad \dfrac{LA}{LH}=\dfrac{S_{AOE}}{S_{HOE}}. \tag{2} \end{align*} Gọi $R$ là bán kính đường tròn $(O)$, ta có \[S_{AOE}=\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot\mathrm{d}(O,AE)=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot\cos A\cdot R\cdot\cos B=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot AB\cdot\cos A\cdot\cos B.\] Tương tự, $S_{BOD}=\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot AB\cdot\cos A\cdot\cos B$.
Suy ra $S_{AOE}=S_{BOD}$.
Từ (2), ta thấy (1) xảy ra khi và chỉ khi $S_{HOD}=S_{HOE}$. Khi đó, $OH\parallel DE$ hoặc $OH$ đi qua trung điểm của $DE$.
Qua $C$, kẻ tiếp tuyến $\Delta$ với đường tròn $(O)$ thì dễ thấy rằng $\Delta\parallel DE$.
Mà $CO\perp \Delta$ nên $CO\perp DE$.
Gọi $P$ là trung điểm của $DE$. Nếu $OH$ đi qua trung điểm của $DE$ thì lúc này $P$ là trung điểm của đoạn $HO$. Do đó, tứ giác $EHDO$ là hình bình hành. Suy ra $OD\parallel HE$ và $OE\parallel HD$. Điều này trái với giả thiết $OD$ cắt $BE$ và $OE$ cắt $AD$.
Vậy ba điểm $K$, $L$, $M$ thẳng hàng khi và chỉ khi $OH\parallel DE \Leftrightarrow CO\perp OH$. Nghĩa là, khi và chỉ khi bốn điểm $C$, $D$, $O$, $H$ cùng nằm trên một đường tròn (đường kính $CH$).

Bài 4. Bạn Dung và bạn Lan tham gia giải cờ vua nữ cấp trường (cùng một số bạn khác). Biết rằng, trong số những bạn tham gia, $2$ bạn bất kì sẽ đấu với nhau đúng $1$ lần, người thắng sẽ được $1$ điểm, hòa được $0{,}5$ điểm, thua được $0$ điểm. Sau khi giải đấu kết thúc, người ta thấy rằng tổng số điểm của hai bạn Dung và Lan là $4$ điểm, trong khi tất cả các bạn còn lại đều có số điểm bằng nhau. Hơn nữa, điểm của mỗi bạn Dung và Lan luôn ít hơn điểm của mỗi bạn khác. Hỏi có bao nhiêu bạn tham gia giải cờ vua nữ cấp trường này? Hãy nêu ra mô hình thi đấu cụ thể thỏa mãn đề bài (với đáp số tìm được ở câu trên).

Lời giải

1. Giả sử tồn tại kết quả như yêu cầu.
   Gọi $n$ ($n\in\mathbb{Z}^{+}$) là số người tham gia giải đấu không tính Dung và Lan.
   Ta thấy giải đấu có $n+2$ bạn.
   Số trận đấu của giải là $\mathrm{C}^2_{n+2}$.
   Ta sẽ đếm tổng số điểm của $n+2$ người chơi theo 2 cách để suy ra kết quả.
   • Cách 1. Gọi $k$ ($k\in\mathbb{Z}^{+}$) là số điểm của mỗi bạn trong $n$ bạn (không có Dung và Lan trong đó). Khi đó, tổng số điểm của $n+2$ bạn chơi là $kn+4$.
   • Cách 2. Theo luật chơi, mỗi trận có $1$ điểm chia cho $2$ bạn chơi, mà có $\mathrm{C}^2_{n+2}$ trận đấu nên tổng số điểm của $n+2$ bạn chơi là $\mathrm{C}^2_{n+2}$ điểm.
   Vậy ta được \begin{eqnarray*} && \mathrm{C}^2_{n+2}=kn+4\\ &\Leftrightarrow& (n+2)(n+1)=2kn+8\\ &\Leftrightarrow& n(n+3-2k)=6. \end{eqnarray*} Vì $n\in\mathbb{Z}^{+}$ nên $n\in\{1;2;3;6\}$.
   • Tổng số điểm của Dung và Lan là $4$ nên tổng số trận đấu của cả $2$ bạn này ít nhất là $4$, nên $n$ không thể là $1$.
   • Nếu $n=2$ thì $k=1$. Khi đó, điểm của Dung và Lan sẽ nhỏ hơn hoặc bằng $0.5$, trái với giả thiết tổng số điểm của cả $2$ bạn là $4$.
   • Nếu $n=3$ thì $k=2$. Khi đó, điểm của Dung và Lan sẽ nhỏ hơn hoặc bằng $1.5$, trái với giả thiết tổng số điểm của cả $2$ bạn là $4$.
   Vậy $n=6$, nên số bạn tham gia giải cờ vua nữ cấp trường này là $8$.
2. Mô hình thi đấu cụ thể thỏa mãn yêu cầu đề bài như sau.
   Gọi $a_i$ ($i=\overline{1,6}$) là những người chơi khác Dung và Lan.
   \