Bài 1. Cho x, y, z là ba số thực dương và x+y+z=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của từng biểu thức sau
|
Lời giải
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có
A=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}.Vậy \min A=\dfrac{3}{2} khi và chỉ khi x=y=z=1.
- Ta có \dfrac{1}{x^2+1}=1-\dfrac{x^2}{x^2+1}\geq 1-\dfrac{x^2}{2x}=1-\dfrac{x}{2}.Tương tự, \dfrac{1}{y^2+1}\geq 1-\dfrac{y}{2} \quad ;\quad \dfrac{1}{z^2+1}\geq 1-\dfrac{z}{2}.Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được B\geq 3-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}.Vậy \min B=\dfrac{3}{2} khi và chỉ khi x=y=z=1.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y),\ \forall x,y\in\mathbb{R}. |
Lời giải
Xét phương trình f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y),\ \forall x,y\in\mathbb{R}. (1)Thay y bởi 0 vào (1) ta được \begin{align*} f\left(f(x)\right)=4x,\,\forall x\in\mathbb{R}, \tag{2} \end{align*}
Vậy hàm số cần tìm là f(x)=2x,\,\forall x\in\mathbb{R}.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC; D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B của tam giác ABC. Các đường thẳng OD và BE cắt nhau tại K. Các đường thẳng OE và AD cắt nhau tại L. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng ba điểm K, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm C, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn. |
Lời giải
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác HAB và ba điểm K, L, M, ta thấy K, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi \begin{align*} \dfrac{\overline{KB}}{\overline{KH}}\cdot\dfrac{\overline{LH}}{\overline{LA}}\cdot\dfrac{\overline{MA}}{\overline{MB}}=1\Leftrightarrow\dfrac{\overline{KB}}{\overline{KH}}=-\dfrac{\overline{LA}}{\overline{LH}}. \tag{1} \end{align*}Suy ra S_{AOE}=S_{BOD}.
Từ (2), ta thấy (1) xảy ra khi và chỉ khi S_{HOD}=S_{HOE}. Khi đó, OH\parallel DE hoặc OH đi qua trung điểm của DE.
Qua C, kẻ tiếp tuyến \Delta với đường tròn (O) thì dễ thấy rằng \Delta\parallel DE.
Mà CO\perp \Delta nên CO\perp DE.
Gọi P là trung điểm của DE. Nếu OH đi qua trung điểm của DE thì lúc này P là trung điểm của đoạn HO. Do đó, tứ giác EHDO là hình bình hành. Suy ra OD\parallel HE và OE\parallel HD. Điều này trái với giả thiết OD cắt BE và OE cắt AD.
Vậy ba điểm K, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi OH\parallel DE \Leftrightarrow CO\perp OH. Nghĩa là, khi và chỉ khi bốn điểm C, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn (đường kính CH).
Bài 4. Bạn Dung và bạn Lan tham gia giải cờ vua nữ cấp trường (cùng một số bạn khác). Biết rằng, trong số những bạn tham gia, 2 bạn bất kì sẽ đấu với nhau đúng 1 lần, người thắng sẽ được 1 điểm, hòa được 0{,}5 điểm, thua được 0 điểm. Sau khi giải đấu kết thúc, người ta thấy rằng tổng số điểm của hai bạn Dung và Lan là 4 điểm, trong khi tất cả các bạn còn lại đều có số điểm bằng nhau. Hơn nữa, điểm của mỗi bạn Dung và Lan luôn ít hơn điểm của mỗi bạn khác.
|
Lời giải
- Giả sử tồn tại kết quả như yêu cầu.
Gọi n (n\in\mathbb{Z}^{+}) là số người tham gia giải đấu không tính Dung và Lan.
Ta thấy giải đấu có n+2 bạn.
Số trận đấu của giải là \mathrm{C}^2_{n+2}.
Ta sẽ đếm tổng số điểm của n+2 người chơi theo 2 cách để suy ra kết quả.- Cách 1. Gọi k (k\in\mathbb{Z}^{+}) là số điểm của mỗi bạn trong n bạn (không có Dung và Lan trong đó). Khi đó, tổng số điểm của n+2 bạn chơi là kn+4.
- Cách 2. Theo luật chơi, mỗi trận có 1 điểm chia cho 2 bạn chơi, mà có \mathrm{C}^2_{n+2} trận đấu nên tổng số điểm của n+2 bạn chơi là \mathrm{C}^2_{n+2} điểm.
Vì n\in\mathbb{Z}^{+} nên n\in\{1;2;3;6\}.- Tổng số điểm của Dung và Lan là 4 nên tổng số trận đấu của cả 2 bạn này ít nhất là 4, nên n không thể là 1.
- Nếu n=2 thì k=1. Khi đó, điểm của Dung và Lan sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 0.5, trái với giả thiết tổng số điểm của cả 2 bạn là 4.
- Nếu n=3 thì k=2. Khi đó, điểm của Dung và Lan sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1.5, trái với giả thiết tổng số điểm của cả 2 bạn là 4.
- Mô hình thi đấu cụ thể thỏa mãn yêu cầu đề bài như sau.
Gọi a_i (i=\overline{1,6}) là những người chơi khác Dung và Lan.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét