@Câu 27. [id1374] (HSG12 HCM ngày 2 năm 2018-2019) Xét dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{a}_{1}}=3$ , ${{a}_{2}}=7$ và ${{a}_{n+2}}=3{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$ với $n=1,2,\,3,...$ a) Chứng minh rằng $\dfrac{a_{1}^{2}}{7}+\dfrac{a_{2}^{2}}{{{7}^{2}}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{{{7}^{n}}} < \dfrac{142}{3}$ , $\forall n=1,\,2,\,3,...$ b) Với mỗi $n\ge 1$ , đặt ${{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+...+\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}$ . Chứng minh rằng dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$ và tìm giới hạn đó.

@Câu 27. [id1374] (HSG12 HCM ngày 2 năm 2018-2019) Xét dãy số $\left( {{a}_{n}} \right)$ xác định bởi ${{a}_{1}}=3$ , ${{a}_{2}}=7$ và ${{a}_{n+2}}=3{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$ với $n=1,2,\,3,...$ a) Chứng minh rằng $\dfrac{a_{1}^{2}}{7}+\dfrac{a_{2}^{2}}{{{7}^{2}}}+...+\dfrac{a_{n}^{2}}{{{7}^{n}}} < \dfrac{142}{3}$ , $\forall n=1,\,2,\,3,...$ b) Với mỗi $n\ge 1$ , đặt ${{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+...+\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}$ . Chứng minh rằng dãy số $\left( {{b}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$ và tìm giới hạn đó.