Số học trong các đề thi HSG

@Câu 1. [id1298] (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019 (2)) Cho đa thức $P(x)$có hệ số nguyên $a,\,b,\,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,\,\,P(b)=2$ và $P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.

@Câu 2. [id1299] (HSG12 HCM ngày 2 năm 2018-2019) Cho đa thức bậc ba $P\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$. a) Chứng minh rằng tồn tại các số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt sao cho $P\left( a \right)=b,\,P\left( b \right)=c,\,P\left( c \right)=a$. b) Giả sử tồn tại 3 bộ số thực $\left( {{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}} \right)$ với $i=\overline{1,3}$ gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho $P\left( {{a}_{i}} \right)={{b}_{i}},P\left( {{b}_{i}} \right)={{c}_{i}},P\left( {{c}_{i}} \right)={{a}_{i}}$ với $i=\overline{1,3}$. Đặt ${{S}_{i}}={{a}_{i}}+{{b}_{i}}+{{c}_{i}}$ với $i=\overline{1,3}$. Chứng minh rằng $S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\ne {{S}_{1}}.{{S}_{2}}+{{S}_{2}}.{{S}_{3}}+{{S}_{3}}.{{S}_{1}}$.

@Câu 3. [id1300] (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Tìm tất cả các đa thức P(x)∈Z[x] sao cho với mọi số n nguyên dương, phương trình P(x)=2^n có nghiệm nguyên.

@Câu 4. [id1301] (HSG12 tỉnh Hưng Yên 2018-2019) Cho đa thức $f\left( x \right)={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+1$ với $a;\,b;\,c$ là các số thực không âm. Biết rằng phương trình $f\left( x \right)=0$ có $4$ nghiệm thực, chứng minh $f\left( 2018 \right)\ge {{2019}^{4}}$ .

@Câu 5. [id1302] (HSG12 tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2018-2019) Giải phương trình nghiệm nguyên ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=4({{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}})+1$.

@Câu 2: [id1303]

@Câu 6. [id1304] (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Xét phương trình ${{x}^{31}}+{{y}^{5}}={{z}^{2018}}$ . a) Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên $x,\,y,\,z$ thỏa mãn phương trình trên. b) Có tồn tại hay không bộ ba số nguyên dương $x,\,y,\,z$ thỏa mãn phương trình trên?

@Câu 7. [id1305] (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn ${{\left( f\left( {{x}^{3}}+x \right) \right)}^{2}}\le f\left( 2x \right)+2$ và ${{\left( f\left( -2x \right) \right)}^{3}}\ge 3f\left( -{{x}^{3}}-x \right)+2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. a)Chứng minh rằng $f\left( x \right)$ không phải là đơn ánh trên $\mathbb{R}$. b)Chứng minh rằng $f(x)\ge -1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

@Câu 8. [id1306] (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn i) $f\left( 2020 \right)=2019$; ii) $f\left( x \right).{{f}_{4}}\left( x \right)=1$ , $\forall x\in \mathbb{R}$, trong đó kí hiệu ${{f}_{4}}\left( x \right)=f\left( f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)$. Hãy tính $f\left( 2018 \right)$.

@Câu 9. [id1307] (HSG12 HCM ngày 2 năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy,$ hai điểm nguyên (hoành độ và tung độ là các số nguyên) $A,B$ được gọi là “thân thiết” với nhau nếu $A,B$ khác $O$ và $-1\le \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\le 1$ với $O$ là gốc tọa độ. a) Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm nguyên $M(x,y)$ với $\left| x \right|\le 19,\left| y \right|\le 19$ thỏa mãn điểm $M$ và điểm $N(3;7)$ “thân thiết” với nhau? b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nguyên đôi một “thân thiết” với nhau?

@Câu 10. [id1308] (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú và Thuận ở chung một phòng trong ký túc xá của một trường trung học phổ thông. Một hôm người quản lý ký túc xá đến phòng của năm học sinh này để xác định lại hộ khẩu nhà của từng học sinh. Vì đều là học sinh giỏi toán nên các học sinh không trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá như sau: - Tính: “ Nhà bạn Phú ở Thới Lai còn nhà em ở Cờ Đỏ ” - Nghĩa: “ Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Tuấn ở Ô Môn ” - Tuấn: “ Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt ” - Phú: “ Nhà em ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều ” - Thuận: “ Nhà em ở Ninh Kiều còn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt” Em hãy giúp người quản lý ký túc xá xác định đúng hộ khẩu nhà của các học sinh trên. Biết rằng trong câu trả lời của mỗi học sinh đều có một phần đúng và một phần sai đồng thời mỗi địa phương là địa chỉ hộ khẩu của đúng một học sinh.

@Câu 11. [id1309] (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) Tại một hội nghị khoa học có 100 đại biểu tham dự. Người ta nhận thấy rằng không có 3 đại biểu nào đôi một quen nhau. Biết rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho không có đại biểu nào quen quá $n$ đại biểu khác và với mọi $k$, $1\le k\le n$ có ít nhất một đại biểu quen đúng $k$ đại biểu khác. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $n$.

@Câu 12. [id1310] (HSG12 tỉnh Bình Thuận vòng 2 năm 2018-2019) Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phàn tử. Biết rằng hai tập hợp tùy ý trong các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2018 tập hợp đã cho.

@Câu 13. [id1311] (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019) Bạn Thanh viết lên bảng các số $1,2,3,...2019.$ Mỗi một bước Thanh xóa hai số $a$ và $b$ bất kì. Trên bảng và viết thêm số $\dfrac{ab}{a+b+1}.$ Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện 2018 bước trên bảng luôn còn lại số $\dfrac{1}{2019}.$

@Câu 14. [id1312] (HSG chọn HSG quốc gia tỉnh ĐỒNG THÁP 2018-2019) Cho bảng ô vuông gồm $m$ hàng và $n$ cột. Tại ô góc trên bên trái của bảng người ta đặt một quân cờ. Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, mỗi lượt di chuyển chỉ di chuyển quân cờ sang phải một ô hoặc xuống dưới một ô. Người chơi nào đến lượt mình không di chuyển được quân cờ thì thua. Xác định điều kiện của $m,n$ để người thực hiện lượt chơi đầu tiên luôn là người thắng.

@Câu 15. [id1313] (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho đa giác lồi $n$ đỉnh Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác được tô bởi một trong $k$ màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$.

@Câu 16. [id1314] (HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho bảng ô vuông kích thước $100\times 100$ mà mỗi ô được điền một trong các ký tự $A,B,C,D$ sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng $25.$Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự $A,B,C,D$ là “bảng tốt”. a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông $1\times 4,\ 4\times 1$ và $2\times 2$ đều có chứa đủ các ký tự $A,B,C,D$? b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho: i) Luôn có $2$ cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được $76$ cặp tốt. ii) Luôn có một bảng tốt.

@Câu 17. [id1315] (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ. Biết rằng trường này chỉ dạy hai ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp.

@Câu 18. [id1316] (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú và Thuận ở chung một phòng trong ký túc xá của một trường trung học phổ thông. Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng của năm học sinh này để xác định lại hộ khẩu nhà của từng học sinh. Vì đều là học sinh giỏi toán nên các học sinh không trả lời trực tiếp mà nói với người quản lý ký túc xá như sau: - Tính: “Nhà bạn Phú ở Thới Lai còn nhà em ở Cờ Đỏ”. - Nghĩa: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Tuấn ở Ô Môn”. - Tuấn: “Nhà em cũng ở Cờ Đỏ còn nhà bạn Phú ở Thốt Nốt”. - Phú: “Nhà em ở Thới Lai còn nhà bạn Thuận ở Ninh Kiều”. - Thuận: “Nhà em ở Ninh Kiều còn nhà bạn Tính ở Thốt Nốt”. Em hãy giúp người quản lý ký túc xá xác định đúng hộ khẩu nhà của các học sinh trên. Biết rằng trong câu trả lời của mỗi học sinh đều có một phần đúng và một phần sai đồng thời mỗi địa phương là địa chỉ hộ khẩu của đúng một học sinh.

@Câu 19. [id1317] (HSG11 tChuyênDHĐB Bắc Bộ năm 2018-2019) Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $4{{m}^{3}}+{{m}^{2}}+40m=2\left( 11{{p}^{n}}-5 \right)$ .

@Câu 20. [id1318] (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019) (HSG12 Hồ Chí Minh Ngày 2 năm 2018-2019)Cho $S$ là tập hợp các bộ $\left( {{a}_{1}}\,,\,{{a}_{2}}\,,\,...\,,\,{{a}_{164}} \right)$ là hoán vị của $164$ số nguyên dương đầu tiên. a) Có bao nhiêu hoán vị $\left( {{a}_{1}}\,,\,{{a}_{2}}\,,\,...\,,\,{{a}_{164}} \right)$ thuộc $S$ sao cho với mọi $i\in \left\{ 1\,,\,2\,,\,...\,,\,164 \right\}$ ta luôn có ${{a}_{i}}\ne i$ và ${{a}_{i}}\equiv i\left( \bmod 41 \right)$? b) Tồn tại hay không hoán vị $({{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{164}})$ thuộc $S$ sao cho với mọi $i\in \{1,2,\ldots ,164\}$đều tồn tại các số nguyên ${{b}_{i}}\in \{0,1,\ldots ,40\}$ thỏa mãn ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{i}}\equiv b_{i}^{2}\text{ }(\bmod 41)$?

@Câu 21. [id1319] (HSG11 Chuyên Duyên Hải Đồng Bằng Bắc Bộ năm 2018-2019) Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $12k+11$. Một tập con $S$ của tập $M=\left\{ 1;\,2;\,3;\ldots ;\,p-2;\,p-1 \right\}$ được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của $S$ không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của $M\backslash S.$ Ký hiệu ${{\Delta }_{S}}$ hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia ${{\Delta }_{S}}$ cho $p$ xét trên mọi tập con tốt của $M$ có chứa đúng $\dfrac{p-1}{2}$ phần tử.

@Câu 22. [id1320] (HSG12 tỉnh Ninh Bình năm 2018-2019 (2)) Với số $n$ nguyên dương, đặt $f(n)$ là các ước nguyên dương của. Xét tập hợp $G=\left\{ n\in {{\mathbb{N}}^{*}}:f(m) < f(n),\forall m\in \mathbb{N},0 < m < n \right\}$ và gọi ${{p}_{i}}$ là số nguyên tố thứ $i\,(i\in {{\mathbb{N}}^{*}}).$ 1) Chứng minh rằng: Nếu $n$ thuộc $G$ và ${{p}_{m}}$ là ước nguyên tố của $n$ thì $({{p}_{1}}{{p}_{2}}....{{p}_{m}})$ là ước của $n$ . 2) Với số nguyên tố ${{p}_{m}}$ , gọi $k,\,M$ là các số nguyên dương thỏa mãn ${{2}^{k}} > {{p}_{m}}$ và $M={{({{p}_{1}}{{p}_{2...}}{{p}_{m-1}})}^{2k}}$ . Chứng minh rằng: Nếu $n > M$ và $n$ thuộc $G$ thì $n$ chia hết cho ${{p}_{m}}$ .

@Câu 23. [id1321] (HSG12 tỉnh Đồng Nai năm 2018-2019) Cho $m,n$ là các số tự nhiên thỏa mãn $4{{m}^{3}}+m=12{{n}^{3}}+n$ , chứng minh $m-n$ là lập phương của một số nguyên.

@Câu 24. [id1322] (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Tìm tất cả các số nguyên tố $a$ thỏa mãn $8{{a}^{2}}+1$ cũng là số nguyên tố.

@Câu 25. [id1323] (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Tìm tất cả các bộ $\left( n,\,k,\,p \right)$ với $n,\,k$ là các số nguyên lớn hơn $1$ và $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn ${{n}^{5}}+{{n}^{4}}-2{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}+1={{p}^{k}}$.

@Câu 1. [id1324] (HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Có sáu ngường cùng tham gia một cuộc họp. Chứng minh rằng : tồn tại hai tập hợp phân biệt thỏa mãn các điều kiện sau : i) Mỗi tập hợp có ba người trong họ . ii) Ba người trong mỗi tập hợp có thể quen biết nhau đôi một hoặc không quen biết nhau đôi một.

@Câu 2. [id1325] (HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=15+2(3y-2x)$.

@Câu 3. [id1326] (HSG tỉnh Lào Cai 2016-2017) Tìm tất cả các bộ bốn số nguyên $\left( x,y,a,b \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{a}^{2}}={{y}^{2}}+7 \\ & {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{y}^{2}}+7 \\ \end{align} \right.$ .

@Câu 4. [id1327] (HSG cấp tỉnh Sơn La 2017-2018) Tìm đa thức bậc ba dạng $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ sao cho $f(x)$ chia hết cho $(x-2)$ và chia cho $({{x}^{2}}-1)$ thì dư $3x$

@Câu 5. [id1328] (HSG Tỉnh ĐĂKLẮC 2017-2018) Tìm đa thức $P(x)$ có hệ số thực và thỏa mãn các điều kiện sau: i) $P(x+1)=P(x)+2x+1\ ,\ \forall x\in \mathbb{R}$.

@Câu 1. [id1329] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho $a$, $b$, $c$ là các hằng số thực và $P\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$. Tìm tất cả các số $a$, $b$, $c$ sao cho $P\left( 2 \right)=26$ và $\left| P\left( x \right) \right|\le 1$ với mọi số thực $x$ sao cho $\left| x \right|\le 1$.

@Câu 1. [id1330] (HSG 11 – VĨNH LONG 2013-2014) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy-x-y+3=0.$

@Câu 2. [id1331] (HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Cho hai số nguyên tố $p,\,q$ thoả mãn$p > q > 2$. Tìm tất cả các số nguyên k sao cho phương trình ${{\left( px-qy \right)}^{2}}=kxyz$ có nghiệm nguyên $\left( x;y;z \right)$ thoả mãn $xyz\ne 0$.

@Câu 3. [id1332] (3 điểm)Giải phương trình nghiệm nguyên: .

@Câu 4. [id1333] (HSG10_Sở GD&ĐT_ĐỒNG NAI _2013-2014) Cho hai số nguyên dương lẻ $m$ và $n$ thỏa $\left\{ \begin{align} & \left( {{m}^{2}}+2 \right)\vdots n \\ & \left( {{n}^{2}}+2 \right)\vdots m \\ \end{align} \right.$ . 1) Hãy tìm một cặp gồm hai số nguyên dương lẻ $\left( m;n \right)$ thỏa các điều kiện đã cho với $m > 10$ và $n > 10$ 2) Chứng minh $\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+2 \right)\vdots 4mn$

@Câu 1. [id1334] (3 điểm)Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố có dạng thì không tồn tại số nguyên dương sao cho chia hết cho .

@Câu 2. [id1335] Cho tam thức bậc hai $P\left( x \right)$ có hệ số thực và thỏa mãn ${{x}^{2}}-2x+3\le P\left( x \right)\le 15{{x}^{2}}-30x+17,\,\,\forall x$. Biết rằng $P\left( 13 \right)=2018$, tính $P\left( 0 \right)$.

@Câu 1. [id1336] ( HSG ĐBBB 2017)Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn điều kiện sau: $f\left( x-f\left( y \right) \right)=f\left( f\left( x \right) \right)-f\left( y \right)-1$ với mọi $x,y\in \mathbb{Z}$.

@Câu 2. [id1337] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn: $f\left( f\left( n \right) \right)+f\left( n \right)=2n+3$ với mọi số tự nhiên $n$.

@Câu 1. [id1338] (Chọn HSG cấp tỉnh lớp 11 –Trường chuyên Trần Ngọc Diễm – 2016 - 2017) Cho hàm số $f:\left( 0;+\infty \right)\to \left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn điều kiện $f\left( 3x \right)\ge f\left( \dfrac{1}{2}f\left( 2x \right) \right)+2x$ với mọi $x > 0$. Chứng minh rằng $f\left( x \right)\ge x$ với mọi $x > 0$.

@Câu 1. [id1339] Trong một câu lạc bộ có $100$ học sinh, gồm $90$ học sinh chơi cầu lông, $80$ học sinh chơi bóng bàn và 70 học sinh chơi bóng đá. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh chơi cả ba môn thể thao?

@Câu 2. [id1340] Trên đường tròn có bán kính bằng $1$ ta lấy $17$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong $17$ điểm đó có ít nhất ba điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{20}$.

@Câu 3. [id1341] ( HSG ĐBBB 2017) Các số $a,b,c$ nguyên, $c\ge 0$ và thỏa mãn điều kiện ${{a}^{n}}+{{2}^{n}}$ là ước của ${{b}^{n}}+c$ với mọi số nguyên dương $n$. a)Chứng minh rằng $c=0$ hoặc $c=1$. b)Khi $c=1$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ không đồng thời là các số chính phương.

@Câu 4. [id1342] (HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Cho dãy số nguyên $({{x}_{n}})$ xác định bởi: ${{x}_{0}}=0$, ${{x}_{1}}=1$ và ${{x}_{n+2}}=3{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}$ với mọi số tự nhiên $n$. a) Tìm số dư của ${{x}_{2017}}$ khi chia cho $4$ . b) Chứng minh rằng ${{x}_{n+100}}\equiv {{x}_{n}}\ (\bmod \,\,101)$ với mọi số tự nhiên $n$.

@Câu 5. [id1343] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Chứng minh rằng nếu tổng của $2018$ số nguyên bất kỳ chia hết cho $30$ thì tổng các lũy thừa bậc $5$ của chúng chia hết cho $30$.

@Câu 1. [id1344] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện $1+{{P}_{1}}+2{{P}_{2}}+3{{P}_{3}}+\cdots +n{{P}_{n}}={{P}_{2014}}$, với ${{P}_{n}}$ là số các hoán vị của tập hợp có $n$ phần tử.

@Câu 2. [id1345] (OLIMPIC 11 – TP HCM - 2017-2018) Trong một giải thi đấu bóng bàn, số lượng vận động viên nam gấp đôi số nữ. Mỗi cặp vận động viên thi đấu với nhau đúng một lần và không có trận hòa, chỉ có thắng- thua. Tỉ số giữa số trận thắng của nữ và số trận thắng của nam là $\dfrac{7}{5}$ . Tính số vận động viên của giải đấu.