[tc74][T2/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Cho $P$ là một điểm nằmtrong $\Delta ABC$ sao cho $\widehat{PBC}=30^{\circ}$, $\widehat{PBA}=8^{\circ}$ và $\widehat{PAB}=\widehat{PAC}=22^{\circ}$. Tính số đo của $\widehat{APC}$.

Lời giải

Vẽ $\triangle ABQ$ cân tại $A$, đường cao $AH$ và gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Vì $\widehat{BPH}$ là góc ngoài của tam giác $\triangle APB$ nên $\widehat{BPH}=22^\circ+8^\circ=30^\circ$.

Xét $\triangle BPD$ ta có $$\widehat{BPD}=\widehat{PBD}=30^{\circ}\Rightarrow\widehat{BDP}=180^{\circ}-2\cdot 30^{\circ}=120^{\circ}.$$ Vì $\triangle ABQ$ cân tại $A$ và $\widehat{BAQ}=44^{\circ}$ nên $$\widehat{ABQ}=\widehat{AQB}=\dfrac{180^\circ-44^\circ}{2}=68^\circ \Rightarrow \widehat{DBQ}=30^{\circ} \Rightarrow \widehat{PBQ}=60^\circ.$$ Xét $\triangle BPQ$ có $PH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến suy ra $\triangle BPQ$ là tam giác cân, lại có $\widehat{PBQ}=60^\circ$ suy ra $\triangle BPQ$ là tam giác đều suy ra $BP=PQ$. Xét $\triangle BPC$ và $\triangle BQC$ có $$\left\{ \begin{array}{l}&BP=BQ\\&\widehat{PBC}=\widehat{QBC}\\&BC \text{ chung}\end{array} \right. \Rightarrow \triangle BPC=\triangle BQC \text{ (c.g.c) } \Rightarrow\widehat{BPC}=\widehat{BQC}=68^{\circ}.$$ $\Rightarrow \widehat{APC} =360^\circ-\widehat{APB}-\widehat{BPC}=360^\circ-150^\circ-68^\circ=142^\circ$.
Vậy $\widehat{APC}=142^\circ$.