[tc73][T1/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] So sánh hai số sau $$A=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{3}{5^3}+\cdots+\dfrac{2018}{5^{2018}};\quad B=\dfrac{2018}{2019}.$$

Lời giải

Từ $\dfrac{4}{5^n}=\dfrac{5-1}{5^n}=\dfrac{1}{5^{n-1}}-\dfrac{1}{5^n}$ có hệ thức $$\dfrac{4}{5^n}=\dfrac{1}{5^{n-1}}-\dfrac{1}{5^n} \tag{1}$$ và $$\dfrac{4n}{5^n}=\dfrac{n}{5^{n-1}}-\dfrac{n}{5^n} \tag{2}.$$ Sử dụng hệ thức (2) khi cho $n$ lần lượt lấy $2018$ giá trị từ $1,2,3,\ldots$ đến $2018$ ta được $$\begin{align*} 4A&= 4\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{3}{5^3}+\cdots+\dfrac{2017}{5^{2017}}+\dfrac{2018}{5^{2018}}\right)\\ &=\dfrac{4}{5}+\dfrac{4\cdot 2}{5^2}+\dfrac{4\cdot 3}{5^3}+\cdots+\dfrac{4\cdot 2017}{5^{2017}}+\dfrac{4\cdot 2018}{5^{2018}}\\ &=\left(\dfrac{5}{5}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{2}{5}-\dfrac{2}{5^2}\right)+\left(\dfrac{3}{5^2}-\dfrac{3}{5^3}\right)+\cdots + \left(\dfrac{2017}{5^{2016}}-\dfrac{2017}{5^{2017}}\right)+\left(\dfrac{2018}{5^{2017}}-\dfrac{2018}{5^{2018}}\right)\\ &= 1+\left(\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{3}{5^2}-\dfrac{2}{5^2}\right)+\left(\dfrac{4}{5^3}-\dfrac{3}{5^3}\right)+\cdots + \left(\dfrac{2018}{5^{2017}}-\dfrac{2017}{5^{2017}}\right)-\dfrac{2018}{5^{2018}}\\ &= 1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{5^3}+\cdots+\dfrac{1}{5^{2017}}-\dfrac{2018}{5^{2018}}\\ &= 1+C-\dfrac{2018}{5^{2018}} < 1+C \tag{3}. \end{align*}$$ trong đó $C=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{5^3}+\cdots+\dfrac{1}{5^{2017}}$.
Tương tự trên, sử dụng hệ thức (1) khi cho $n$ lần lượt lấy $2017$ giá trị từ $1, 2, 3, \ldots$ đến $2017$ ta được $$\begin{align*} 4C&=4\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{5^3}+\cdots+\dfrac{1}{5^{2016}}+\dfrac{1}{5^{2017}}\right) \\ &=\dfrac{4}{5}+\dfrac{4}{5^2}+\dfrac{4}{5^3}+\cdots+\dfrac{4}{5^{2016}}+\dfrac{4}{5^{2017}}\\ &=\left(\dfrac{5}{5}-\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{5^2}\right)+\left(\dfrac{1}{5^2}-\dfrac{1}{5^3}\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{5^{2015}}-\dfrac{1}{5^{2016}}\right)+\left(\dfrac{1}{5^{2016}}-\dfrac{1}{5^{2017}}\right)\\ &=1 -\dfrac{1}{5^{2017}} < 1 \tag{4}. \end{align*}$$ Từ (3) và (4) có $16A < 4+4C < 5$, suy ra $A < \dfrac{5}{16}$ mà $\dfrac{5}{16} < \dfrac{15}{16}=1-\dfrac{1}{16} < 1-\dfrac{1}{2019}=\dfrac{2018}{2019}$ nên $A < B$.