[tc75][T3/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Giải phương trình \[\dfrac{1}{5x^2-x+3}+\dfrac{1}{5x^2+x+7}+\dfrac{1}{5x^2+3x+13}+\dfrac{1}{5x^2+5x+21}=\dfrac{4}{x^2+6x+5} \text{ với } x > 0.\]

Lời giải

Ta có phương trình \[\dfrac{1}{5x^2-x+3}+\dfrac{1}{5x^2+x+7}+\dfrac{1}{5x^2+3x+13}+\dfrac{1}{5x^2+5x+21}=\dfrac{4}{x^2+6x+5} \text{ với } x > 0. \tag{1}\] Nhận thấy, với $x > 0$ thì \begin{eqnarray*} 5x^2-x+3&=&\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2+3x+2\right)\\ &=&(2x-1)^2+(x+1)(x+2)\geq(x+1)(x+2) > 0.\\ 5x^2+x+7&=&\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2+5x+6\right)\\ &=&(2x-1)^2+(x+2)(x+3)\geq(x+2)(x+3) > 0.\\ 5x^2+3x+13&=&\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2+7x+12\right)\\ &=&(2x-1)^2+(x+3)(x+4)\geq(x+3)(x+4) > 0.\\ 5x^2+5x+21&=&\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2+9x+20\right)\\ &=&(2x-1)^2+(x+4)(x+5)\geq(x+4)(x+5) > 0. \end{eqnarray*} Do đó phương trình (1) luôn xác định với mọi $x > 0$. Từ đó áp dụng BĐT:
Nếu $a\geq b > 0$ thì $\dfrac{1}{a}\leq\dfrac{1}{b}$, ta có \begin{eqnarray*} &&\dfrac{1}{5x^2-x+3}+\dfrac{1}{5x^2+x+7}+\dfrac{1}{5x^2+3x+13}+\dfrac{1}{5x^2+5x+21}\\ &\leq&\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{1}{(x+2)(x+3)}+\dfrac{1}{(x+3)(x+4)}+\dfrac{1}{(x+4)(x+5)}\\ &=&\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+4}-\dfrac{1}{x+5}\\ &=&\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{4}{(x+1)(x+5)}=\dfrac{4}{x^2+6x+5}. \end{eqnarray*} Do đó VT (1) $\le$ VP (1), đẳng thức xảy ra khi \[(2x-1)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \;(\text{thỏa mãn } x > 0).\] Vậy nghiệm của phương trình (1) với $x > 0$ là $x=\dfrac{1}{2}$.