[tc76][T4/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Trên các cạnh $AD$ và $CD$ lần lượt lấy hai điểm $M$, $N$ sao cho $MD+DN=a$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $BN$ và $AD$. Gọi $F$ là giao điểm của hai đường thẳng $BM$ và $CD$. Chứng minh $ME^2-NE^2+NF^2-MF^2=2a^2$.

Lời giải

Sử dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác vuông $DNE$ và $DMF$ ta có \begin{eqnarray*} &&ME^2-NE^2+NF^2-MF^2\\ &=&(MD+DE)^2+(ND+DF)^2-NE^2-MF^2\\ &=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF-\left(NE^2-ND^2\right)-\left(MF^2-DF^2\right)+DE^2+MD^2\\ &=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF. \end{eqnarray*}

Mặt khác, từ giả thiết suy ra $MD=NC$ và $AM=DN$. Vậy \begin{eqnarray*} &&2MD\cdot DE=2CN\cdot DE=4 \cdot S_{\triangle CNE}.\\ &&2ND\cdot DF=2AM\cdot DF=4 \cdot S_{\triangle MF}. \end{eqnarray*} Lại có \begin{eqnarray*} &&S_{\triangle CNE}=S_{\triangle BND} \;(\text{tính chất hình thang } BCED).\\ &&S_{\triangle AMF}=S_{\triangle BMD} \;(\text{tính chất hình thang } BAFD).\\ &&S_{\triangle BND}=S_{\triangle BMA} \;(\text{vì } DN=AM).\\ &&S_{\triangle BMD}=S_{\triangle BNC}\;(\text{vì } DM=CN). \end{eqnarray*} Từ đó suy ra \begin{eqnarray*} &&4\cdot S_{\triangle CNE}=4 \cdot S_{\triangle BND}=2\left(S_{\triangle BND}+S_{\triangle BMA}\right).\\ &&4 \cdot S_{\triangle AMF}=4 \cdot S_{\triangle BMD}=2\left(S_{\triangle BMD}+S_{\triangle BNC}\right). \end{eqnarray*} Do đó \begin{eqnarray*} ME^2-NE^2+NF^2-MF^2&=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF\\ &=&4\cdot S_{\triangle CNE}+4\cdot S_{\triangle AMF}\\ &=&2\left(S_{\triangle BND}+S_{\triangle BMA}+S_{\triangle BMD}+S_{\triangle BNC}\right)\\ &=&2S_{ABCD}=2a^2. \end{eqnarray*}