Loading web-font TeX/Math/Italic

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Chủ Nhật, 4 tháng 10, 2020

[tc76][T4/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên các cạnh ADCD lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho MD+DN=a. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng BNAD. Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng BMCD. Chứng minh ME^2-NE^2+NF^2-MF^2=2a^2.

Lời giải

Sử dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác vuông DNEDMF ta có \begin{eqnarray*} &&ME^2-NE^2+NF^2-MF^2\\ &=&(MD+DE)^2+(ND+DF)^2-NE^2-MF^2\\ &=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF-\left(NE^2-ND^2\right)-\left(MF^2-DF^2\right)+DE^2+MD^2\\ &=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF. \end{eqnarray*}
Mặt khác, từ giả thiết suy ra MD=NCAM=DN. Vậy \begin{eqnarray*} &&2MD\cdot DE=2CN\cdot DE=4 \cdot S_{\triangle CNE}.\\ &&2ND\cdot DF=2AM\cdot DF=4 \cdot S_{\triangle MF}. \end{eqnarray*}
Lại có \begin{eqnarray*} &&S_{\triangle CNE}=S_{\triangle BND} \;(\text{tính chất hình thang } BCED).\\ &&S_{\triangle AMF}=S_{\triangle BMD} \;(\text{tính chất hình thang } BAFD).\\ &&S_{\triangle BND}=S_{\triangle BMA} \;(\text{vì } DN=AM).\\ &&S_{\triangle BMD}=S_{\triangle BNC}\;(\text{vì } DM=CN). \end{eqnarray*}
Từ đó suy ra \begin{eqnarray*} &&4\cdot S_{\triangle CNE}=4 \cdot S_{\triangle BND}=2\left(S_{\triangle BND}+S_{\triangle BMA}\right).\\ &&4 \cdot S_{\triangle AMF}=4 \cdot S_{\triangle BMD}=2\left(S_{\triangle BMD}+S_{\triangle BNC}\right). \end{eqnarray*}
Do đó \begin{eqnarray*} ME^2-NE^2+NF^2-MF^2&=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF\\ &=&4\cdot S_{\triangle CNE}+4\cdot S_{\triangle AMF}\\ &=&2\left(S_{\triangle BND}+S_{\triangle BMA}+S_{\triangle BMD}+S_{\triangle BNC}\right)\\ &=&2S_{ABCD}=2a^2. \end{eqnarray*}

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét