Lời giải
Sử dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác vuông DNE và DMF ta có \begin{eqnarray*} &&ME^2-NE^2+NF^2-MF^2\\ &=&(MD+DE)^2+(ND+DF)^2-NE^2-MF^2\\ &=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF-\left(NE^2-ND^2\right)-\left(MF^2-DF^2\right)+DE^2+MD^2\\ &=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF. \end{eqnarray*}
Mặt khác, từ giả thiết suy ra MD=NC và AM=DN. Vậy
\begin{eqnarray*}
&&2MD\cdot DE=2CN\cdot DE=4 \cdot S_{\triangle CNE}.\\
&&2ND\cdot DF=2AM\cdot DF=4 \cdot S_{\triangle MF}.
\end{eqnarray*}
Lại có
\begin{eqnarray*}
&&S_{\triangle CNE}=S_{\triangle BND} \;(\text{tính chất hình thang } BCED).\\
&&S_{\triangle AMF}=S_{\triangle BMD} \;(\text{tính chất hình thang } BAFD).\\
&&S_{\triangle BND}=S_{\triangle BMA} \;(\text{vì } DN=AM).\\
&&S_{\triangle BMD}=S_{\triangle BNC}\;(\text{vì } DM=CN).
\end{eqnarray*}
Từ đó suy ra
\begin{eqnarray*}
&&4\cdot S_{\triangle CNE}=4 \cdot S_{\triangle BND}=2\left(S_{\triangle BND}+S_{\triangle BMA}\right).\\
&&4 \cdot S_{\triangle AMF}=4 \cdot S_{\triangle BMD}=2\left(S_{\triangle BMD}+S_{\triangle BNC}\right).
\end{eqnarray*}
Do đó
\begin{eqnarray*}
ME^2-NE^2+NF^2-MF^2&=&2MD\cdot DE+2ND\cdot DF\\
&=&4\cdot S_{\triangle CNE}+4\cdot S_{\triangle AMF}\\
&=&2\left(S_{\triangle BND}+S_{\triangle BMA}+S_{\triangle BMD}+S_{\triangle BNC}\right)\\
&=&2S_{ABCD}=2a^2.
\end{eqnarray*}
0 nhận xét:
Đăng nhận xét