[tc77] [T5/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Cho các số thực dương $a, b, c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac a{\sqrt a+\sqrt[3]{b c}}+\dfrac b{\sqrt[3]b+\sqrt[3]{c a}}+\dfrac c{\sqrt[4]c+\sqrt[3]{a b}}+\dfrac{9\sqrt[4]{(a+1)(b+1)(c+1)}}{4(a+b+c)}$$

Lời giải

Ta có: $$(a+1)(b+1)(c+1)=a+b c+(a b c+b+c)+(a b+c a+1).$$ Áp dụng bất đằng thức Cauchy cho ba số dương
$$a b c+b+c\geq 3\sqrt[3]{a b^2c^2};\quad a b+c a+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b c}.$$ Suy ra $(a+1)(b+1)(c+1)\geq a+b c+3\sqrt[3]{a b^2c^2}+3\sqrt[3]{a^2b c}$ $=(\sqrt[3]a+\sqrt[3]{b c})^3$.
Do đó $$\begin{align*} &\sqrt[3]a+\sqrt[3]{b c}\leq\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)} \tag{1}\\ \text{ hay } &\dfrac a{\sqrt[3]a+\sqrt[3]{b c}}\geq\dfrac a{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\tag{2} \end{align*}$$ Tương tự: $$\begin{align*} &\dfrac b{\sqrt[3]b+\sqrt[3]{c a}}\geq\dfrac b{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}} \tag{3}\\ &\dfrac c{\sqrt[3]c+\sqrt[3]{a b}}\geq\dfrac c{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\tag{4} \end{align*}$$ Cộng theo vế của ba bất đẳng thức $(2)$, $(3$), $(4)$ ta được:
$$P\geq\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}+\dfrac{9\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}{4(a+b+c)}.$$ Lại áp dụng bất đằng thức Cauchy cho hai số dương, ta được
$$P\geq\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}+\dfrac{9\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}{4(a+b+c)}$$ $$\geq2\sqrt{\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\cdot\dfrac{9\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}{4(a+b+c)}}=3$$ Dấu đằng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.
Vậy $\min P=3,$ giá trị đó đạt được khi $a=b=c=1$.
Nhận xét. Điều then chốt của lời giải là chứng minh bất đẳng thức $(1)$, từ đó suy ra các BĐT $(2)$, $(3)$, $(4)$. Bất đẳng thức tổng quát của $(1)$ là:
Với các số thực dương $a,b,c,x,y,z$ ta có $$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq\sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}.$$ Chứng minh bất đằng thức này như sau: Ta có: $$(a+x)(b+y)(c+z)=abc+xyz+(abz+bcx+cay)+(ayz+bzx+cxy)$$ Áp dụng bất đằng thức Cauchy cho mỗi bộ ba số dương $(abz+bcx+cay)$ và $(ayz+bzx+cxy)$ suy ra kết quả. Dấu đằng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=x=y=z$.