[tc78] [T6/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac 1{a b}+\dfrac 1{b c}+\dfrac 1{c d}+\dfrac 1{a d}=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a b c d}8+2\geq\sqrt{(a+c)\left(\dfrac 1 a+\dfrac 1 c\right)}+\sqrt{(b+d)\left(\dfrac 1 b+\dfrac 1 d\right)}.$$

Lời giải

Từ giả thiết ở đề bài, nhân hai vế với $abcd$ ta có: $$abcd=cd+da+ab+bc=(a+c)(b+d).$$ Biến đổi và ba lần dùng bất đằng thức Cauchy cho hai số thực dương ta nhận được: $$\begin{aligned} &\sqrt{(a+c)\left(\dfrac 1a+\dfrac 1c\right)}+\sqrt{(b+d)\left(\dfrac 1b+\dfrac 1d\right)}\\ &=\dfrac{a+c}{\sqrt{a c}}+\dfrac{b+d}{\sqrt{b d}}=\dfrac{(a+c)\sqrt{b d}+(b+d)\sqrt{a c}}{\sqrt{a b c d}}\\ &\leq\dfrac{(a+c)\cdot\dfrac 12(b+d)+(b+d)\cdot\dfrac 12(a+c)}{\sqrt{a b c d}}\\ &=\dfrac{(a+c)(b+d)}{\sqrt{a b c d}}=\dfrac{a b c d}{\sqrt{a b c d}}=\sqrt{a b c d}=2\sqrt{\dfrac{a b c d}8\cdot 2}\\ &\leq\dfrac{a b c d}8+2 . \end{aligned}$$ Bất đằng thức đã được chứng minh. Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=c,b=d$,
$abcd=(a+c)(b+d)=16 \Leftrightarrow c=a$ $b=d=\dfrac4a$ ($a$ là số thực dương tùy ý).