[tc79] [T7/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Giải hệ phương trình ba ẩn số thực $x,y,z$: $$\left\{ \begin{array}{l} &x^{3}+2y^{3}=2x^{2}+z^{2} \\ &2x^{3}+3x^{2}=3y^{3}+2z^{2}+7 \\ &x^{3}+x^{2}+y^{2}+2xy=2xz+2yz+2. \end{array} \right.$$

Lời giải

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l} &x^{3}+2y^{3}=2x^{2}+z^{2}&&(1) \\ &2x^{3}+3x^{2}=3y^{3}+2z^{2}+7&&(2)\\ &x^{3}+x^{2}+y^{2}+2xy=2xz+2yz+2.&&(3) \end{array} \right.$
Lấy $(2)-2\times(1)$, ta được $x^{2}-y^{3}=1$.$(4)$
Thay $(4)$ vào $(1)$ ta được: $x^3-z^2=2$.$(5)$
Ta có: $(3)\Leftrightarrow x^3-z^2+(x+y-z)^2=2,$ nên từ $(5)$ suy ra: $x+y-z=0$.$(6)$
Như vậy hệ đã cho được viết gọn lại dưới dạng $(4)$, $(5)$, $(6)$.
Từ $(5)$ suy ra: $x^3=z^2+2\geq 2$ nên suy ra $y^3=x^2-1 > 0$ (do $x \geq \sqrt[3]{2}$) nên ta cũng có $y > 0$ và $y=\sqrt[3]{x^2-1}$. Từ $(6)$ có $z=x+y > 0\Rightarrow z=\sqrt{x^3-2}$. Khi đó $$\begin{align*} (6)&\Leftrightarrow x+\sqrt[3]{x^2-1}-\sqrt{x^3-2}=0\tag{6'}\\ &\Leftrightarrow(\sqrt[3]{x^2-1}-2)-[\sqrt{x^3-2}-(x+2)]=0\\ &\Leftrightarrow\dfrac{x^2-1-8}{\sqrt[3]{\left(x^2-1\right)^2}+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}-\dfrac{x^3-2-(x+2)^2}{\sqrt{x^3-2}+x+2}=0\\ &\Leftrightarrow\dfrac{x^2-9}{(\sqrt[3]{x^2-1}+1)^2+3}-\dfrac{x^3-x^2-4x-6}{\sqrt{x^3-2}+x+2}=0\\ &\Leftrightarrow(x-3)\left[\dfrac{x+3}{(\sqrt[3]{x^2-1}+1)^2+3}-\dfrac{x^2+2x+2}{\sqrt{x^3-2}+x+2}\right]=0\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}&x=3\\ &\dfrac{x+3}{(\sqrt[3]{x^2-1}+1)^2+3}=\dfrac{x^2+2x+2}{\sqrt{x^3-2}+x+2}.\end{array} \right. \end{align*}$$ Ta sẽ chứng minh $PT(*)$ vô nghiệm bằng cách chứng tỏ $VT(*) < 1 < VP\left(^{*}\right)$ với mọi $x\geq\sqrt[3]2$.
Thật vậy:

• $\dfrac{x+3}{(\sqrt{x^2-1+1)^2+3}} < 1\Leftrightarrow x < (\sqrt[3]{x^2-1}+1)^2$
  $\Leftrightarrow\sqrt x-1 < \sqrt[3]{x^2-1}\Leftrightarrow x\sqrt x-3x+3\sqrt x-1 < x^2-1$
  $\Leftrightarrow\sqrt x(\sqrt x-1)(x+3) > 0:$ đúng với mọi $x\geq\sqrt[3]2$.
• $\dfrac{x^2+2x+2}{\sqrt{x^3-2}+x+2} > 1\Leftrightarrow x^2+x > \sqrt{x^3-2}$
  $\Leftrightarrow x^4+2x^3+x^2 > x^3-2\Leftrightarrow x^4+x^3+x^2+2 > 0:$ đúng với mọi $x\geq\sqrt[3]2$.
  Từ đó suy ra hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y;z)=(3;2;5)$.

Nhận xét: Sau khi tìm được $(4)$, $(5)$, $(6)$ có thể giải tiếp hệ bằng cách đưa về PT vô tỷ như giải PT$\left(6'\right)$ ở trên. Tuy nhiên, ta có thê giải hệ bằng cách đưa về PT đa thức như sau:
Từ $(4)$, $(5)$, $(6)$ suy ra $x$, $y$, $z$ dương và $x^2+2x y+y^2=z^2=x^3-2$
$\Leftrightarrow y^3+1+y^2+2=x\left(x^2-2y\right)$
$\Rightarrow\left(y^3+y^2+3\right)^2=\left(y^3+1\right)\left(y^3-2y+1\right)^2$
$\Leftrightarrow(y-2)\left(y^3+2y^7+2y^5+6y^4+3y^3+3y^2+4y+4\right)=0$
$\Leftrightarrow y=2$ (do $y > 0$). Suy ra $x=3, z=5.$
Thử lại thấy $(x;y;z)=(3;2;5)$ là nghiệm của hệ đã cho.