[tc80] [T8/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $BO$, $CO$ cắt đường cao $AD$ của tam giác lần lượt tại $E$, $F$ . Gọi $I$, $J$ lần lượt là tâm của đường tròn $(ACF)$, $(ABE)$. $K$, $H$ lần lượt thuộc $AB$, $AC$ sao cho $JK\parallel A O \parallel IH$. Giả sử $IJ$ cắt $AB,$ $AC$ lần lượt tại $M,$ $N$. Chứng minh rằng giao điểm của $MH,$ $NK$ thuộc đường trung bình đối diện góc $A$ của tam giác $ABC$.

Lời giải

Gọi $S$ là giao điểm của $MH$ và $NK$; $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Khi đó ba điểm $I$, $O$, $Q$ thắng hàng; ba điểm $J$, $P$, $O$ thằng hàng. Ta có: $\widehat{BAF}=\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\widehat{ACF},$ suy ra $BA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$, dẫn đến $AB \perp AI$. Vì $OP\perp AB$ nên $OJ \perp AB$ $\Rightarrow OJ \parallel AI$. Tương tự ta có: $O I \parallel AJ$, suy ra tứ giác $AIOJ$ là hình bình hành.

Gọi $R$ là giao điểm của $OA$ và $IJ$ thì $RA=RO$. Từ đó để ý rằng $AO \parallel IH$ ta thấy $$(IH,IN,IQ,IA)=-1 \Rightarrow(HNQA)=-1.$$ Tương tự ta có: $(KMPA)=-1$. Do đó $(AMPK)=(AHQN)=-1,$ dẫn tới $MH,$ $PQ,$ $KN$ đồng quy (tại $S$) hay $S$ thuộc $PQ$. Ta có điều cần chứng minh.