[tc81][T9/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Giải phương trình \[8^x + 27^{\frac{1}{x}} + 2^{x+1} \cdot 3^{\frac{x+1}{x}} + 2^x \cdot 3^{\frac{2x+1}{x}} = 125.\]

Lời giải

• Điều kiện xác định của phương trình là $x \ne 0$.
• Biến đổi tương đương từ phương trình ban đầu ta có \[\left( 2^x\right)^3 + \left( 3^{\frac{1}{x}}\right)^3 + 15 \cdot 2^x \cdot 3^{\frac{1}{x}} - 125 = 0.\] Đặt $a = 2^x > 0$; $b = 3^{\frac{1}{x}} > 0$ ta được \begin{eqnarray*} a^3 + b^3 + 15ab - 125 = 0 &\Leftrightarrow& \left( a+ b\right)^3 - 3ab\left( a+b\right) + 15ab - 125 = 0\\ &\Leftrightarrow&\left( a+b - 5\right) \left( a^2 - ab + b^2+ 5a + 5b + 25\right) = 0\\ &\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\left( a+b -5\right) \left[ \left( a-b\right) ^2 + \left( a+5\right)^2 + \left( b + 5\right)^2\right] = 0\\ &\Leftrightarrow&\left[ \begin{array}{l}&a + b = 5\\&a = b = -5}\\ &\Leftrightarrow&a + b = 5. \end{eqnarray*} Từ đó ta có \[2^x + 3^{\frac{1}{x}} = 5.\] Dễ dàng thấy $x_1 = 1$; $x_2 = \log_{2}3$ là hai nghiệm của phương trình $2^x + 3^{\frac{1}{x}} = 5$. Bây giờ ta sẽ chứng minh đây là hai nghiệm duy nhất của nó.
  Thật vậy, xét hàm số \[ f\left( x \right) = 2^x + 3^{\frac{1}{x}} - 5\; \text{trên miền} \;\left( 0; + \infty\right)\; \left( \text{vì}\; x < 0\; \text{thì}\; 2^x + 3^{\frac{1}{x}} < 2^0 + 3^0 = 2 < 5 \right).\] Ta có \[f'\left( x\right) = 2^x \ln2 - \dfrac{1}{x^2}3^{\frac{1}{x}} \ln3.\] Ta có \[f''\left( x\right) =2^x \left( \ln2\right)^2 + \dfrac{2 \ln 3}{x^3} \cdot 3^{\frac{1}{x}} + \dfrac{\left( \ln 3\right)^2}{x^4} \cdot 3^{\frac{1}{x}} > 0.\]

Cho nên $f\left( x \right) = 2^x + 3^{\frac{1}{x}} - 5 = 0$ có không quá hai nghiệm dương. Do đó $x_1 =1$; $x_2 = \log_{2}3$ là hai nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.