Lời giải
- Điều kiện xác định của phương trình là x \ne 0.
- Biến đổi tương đương từ phương trình ban đầu ta có
\left( 2^x\right)^3 + \left( 3^{\frac{1}{x}}\right)^3 + 15 \cdot 2^x \cdot 3^{\frac{1}{x}} - 125 = 0.
Đặt a = 2^x > 0; b = 3^{\frac{1}{x}} > 0 ta được
\begin{eqnarray*}
a^3 + b^3 + 15ab - 125 = 0 &\Leftrightarrow& \left( a+ b\right)^3 - 3ab\left( a+b\right) + 15ab - 125 = 0\\
&\Leftrightarrow&\left( a+b - 5\right) \left( a^2 - ab + b^2+ 5a + 5b + 25\right) = 0\\
&\Leftrightarrow&\dfrac{1}{2}\left( a+b -5\right) \left[ \left( a-b\right) ^2 + \left( a+5\right)^2 + \left( b + 5\right)^2\right] = 0\\
&\Leftrightarrow&\left[ \begin{array}{l}&a + b = 5\\&a = b = -5}\\
&\Leftrightarrow&a + b = 5.
\end{eqnarray*}
Từ đó ta có
2^x + 3^{\frac{1}{x}} = 5.
Dễ dàng thấy x_1 = 1; x_2 = \log_{2}3 là hai nghiệm của phương trình 2^x + 3^{\frac{1}{x}} = 5. Bây giờ ta sẽ chứng minh đây là hai nghiệm duy nhất của nó.
Thật vậy, xét hàm số f\left( x \right) = 2^x + 3^{\frac{1}{x}} - 5\; \text{trên miền} \;\left( 0; + \infty\right)\; \left( \text{vì}\; x < 0\; \text{thì}\; 2^x + 3^{\frac{1}{x}} < 2^0 + 3^0 = 2 < 5 \right). Ta có f'\left( x\right) = 2^x \ln2 - \dfrac{1}{x^2}3^{\frac{1}{x}} \ln3. Ta có f''\left( x\right) =2^x \left( \ln2\right)^2 + \dfrac{2 \ln 3}{x^3} \cdot 3^{\frac{1}{x}} + \dfrac{\left( \ln 3\right)^2}{x^4} \cdot 3^{\frac{1}{x}} > 0.
0 nhận xét:
Đăng nhận xét