Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Chủ Nhật, 4 tháng 10, 2020

[tc82][T10/509 Toán học & tuổi trẻ số 509, tháng 11 năm 2019] Ta ký hiệu \left[ x\right] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, \left\lbrace x\right\rbrace = x -\left[ x\right]. Cho dãy số \left( u_n\right) với u_n = \left\lbrace \dfrac{2^{2n + 1} + n^2 + n + 2}{2^{2n+1} + 2}\right\rbrace . Có bao nhiêu số hạng của dãy \left( u_n\right) thỏa mãn \dfrac{2526 \cdot 2^{n-99}}{2^n + 1} \le u_n \le \dfrac{23}{65}.

Lời giải

Ta có u_n = \left\lbrace \dfrac{2^{2n + 1} + n^2 + n + 2}{2^{2n+1} + 2}\right\rbrace = \left\lbrace 2^n - 1 + \dfrac{n^2 + n + 4}{2^{n+1} + 2}\right\rbrace = \left\lbrace \dfrac{n^2 + n + 4}{2^{n+1} + 2}\right\rbrace. Với n = 1, u_1 = 0; n = 2, u_2 = 0 (không thỏa mãn đề bài). Với n \ge 3 dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng 2^{n+1} \ge n^2 + n +4, thành thử 0 < \dfrac{n^2 + n + 4}{2^{n+1} + 2} < 1. Do đó u_n = \dfrac{n^2 + n + 4}{2^{n+1} + 2}\;\left( n \ge 3\right). Ta có \dfrac{2526 \cdot 2^{n-99}}{2^{n}+1} \le u_n \le \dfrac{23}{65} \Leftrightarrow 1263 \cdot 2^{n-97}\le n^2 + n + 4 \le \dfrac{46\left( 2^n + 1\right) }{65}. \tag{*} Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp khẳng định \rm i)\rm ii) sau:
  • Với n \ge 7 thì \dfrac{46 \cdot 2^n}{65} > n^2 +n + 4.
  • Với n > 101 thì 1263 \cdot 2^{n -97} \ge n^2 +n + 4.
  • Bằng cách thử ta có n^2 + n + 4 > \dfrac{46\left( 2^n +1\right) }{65} với n < 6n^2 + n + 4 = \dfrac{46\left( 2^n + 1\right) }{65} với n =6.
  • 2^{11} > 1263 nên khi n \le 86 thì 1263 < 2^{11} \le 2^{97- n}\left( n^2 + n + 4\right) \Leftrightarrow 1263 \cdot 2^{n-97} < n^2+ n + 4. Với 87 \le n \le 100 bằng cách thử trực tiếp ta có 1263 \cdot 2^{n-97} \le n^2 + n + 4. Từ \rm i; \rm ii; \rm iii\rm iv ta suy ra bất đẳng thức \left( *\right). Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi 6 \le n \le 100. Do vậy có 95 số thoa mãn yêu cầu của đề bài.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét