[tc87][T3/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho ba số thực $x,$ $y,$ $z$ thỏa mãn $xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz=0.$ Chứng minh \[x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=\left(x+y+z\right)^{2019}.\] %\vspace{-1.5cm}LÊ MINH HÒA(GV THCS Khả Cửu, Thanh Sơn, Phú Thọ)

Lời giải

Ta có: \begin{eqnarray*} &&xy(x+y)+y z(y+z)+z x(z+x)+2 x y z=0 \\ &\Leftrightarrow&[x y(x+y)+x y z]+[y z(y+z)+x y z] +z x(z+x)=0 \\ &\Leftrightarrow& x y(x+y+z)+y z(x+y+z)+z x(z+x)=0 \\ &\Leftrightarrow& y(x+y+z)(x+z)+z x(z+x)=0 \\ &\Leftrightarrow& (x+z)[y(x+y)+z(y+x)]=0 \\ &\Leftrightarrow& (x+y)(y+z)(z+x)=0 \\ &\Leftrightarrow&\left[ \begin{array}{l} &x+y=0 \\ &y+z=0 \\ &z+x=0 \end{array}\right. \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} &x=-y \\ &y=-z\\ &z=-x \end{array}\right. \end{eqnarray*} Nếu $x=-y$ thì $x^{2019}=-y^{2019}$ và $x+y+z=z.$ Do đó
\[x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=-y^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=z^{2019}=(x+y+z)^{2019}.\] Tương tự nếu $y=-z$ hoặc $z=-x,$ đều thu được $x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=(x+y+z)^{2019}.$
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.