[tc86][T2/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $\widehat{B}=75^\circ.$ Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $H$ sao cho $BH=2AC.$ Tính số đo của góc $BHC.$ %\vspace{-0.4cm}NGUYỄN HÙNG CƯỜNG(85 Biên Cương, Ngô Mây, TP. Quy Nhơn, Bình Định)

Lời giải

Gọi $M$ là trung điểm của $BH.$ Khi đó $BM=MH=AC.$ Vẽ tam giác đều $BCO,$ tức là $BO=BC=CO.$ Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và góc $\widehat{B}=75^{\circ}$ nên
$\widehat{BCA}=90^{\circ}-\widehat{ABC}=15^{\circ}.$
$\widehat{MBO}=\widehat{ABC}-\widehat{OBC}=75^{\circ}-60^{\circ}=15^{\circ}.$
Hai tam giác $BMO$ và $CAB$ bằng nhau vì
$BM=CA,\; \widehat{MBO}=\widehat{ACB}=15^{\circ},\; BO=CB.$
Suy ra $\widehat{BMO}=\widehat{CAB}=90^{\circ}$ hay $OM \perp BH.$
Tam giác $BOH$ có $OM$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân tại $O.$ Do đó $BO=OH$ và $\widehat{BHO}=\widehat{HBO}=15^{\circ}.$ } { } Vậy $\widehat{B O H}=180^{\circ}-2\cdot 15^{\circ}=150^{\circ}.$ Suy ra: $$\widehat{HOC}=360^{\circ}-\widehat{BOH}-\widehat{COB}-360^{\circ}-150^{\circ}-60^{\circ}=150^{\circ}.$$ Do đó $\triangle BOH=\triangle COH$ vì $BO=CO,$ $\widehat{BOH}=\widehat{COH}=150^{\circ},$ $OH$ chung.
Suy ra: $\widehat{BHO}=\widehat{CHO}=15^{\circ}.$
Vậy $\widehat{BHC}=15^{\circ}+15^{\circ}=30^{\circ}.$