[tc85][T1/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Tìm tất cả các số tự nhiên $x,$ $y,$ $z$ sao cho $3^x+5^y-2^z=\left(2z+3\right)^3.$%\vspace{-0.4cm}CAO NGỌC TOẢN(GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên-Huế)

Lời giải

Ta thấy $3^x,$ $5^y$ và $2z+3$ đều là những số nguyên lẻ với bất kỳ giá trị nào của mỗi số tự nhiên $x,$ $y,$ $z,$ do đó tổng $3^{x}+5^{y}$ là số chẵn và $(2 z+3)^{3}$ là số lẻ với bất kỳ giá trị nào của mỗi số tự nhiên $x,$ $y,$ $z,$ mà $2^{z}=3^{x}+5^{y}-(2 z+3)^{3}$ nên $2^{z}$ phải là số lẻ. Từ đó chỉ có thể xảy ra $2^{z}=1,$ do dó $z=0.$ Thay vào đẳng thức trên được $3^{x}+5^{y}=28,$ suy ra $5^{y} < 28$ nên $y \leq 2.$
Xét ba trường hợp sau: [{\bfseries TH 1.}]

Nếu $y=0$ thì $5^{y}=1$ và $3^{x}=27,$ suy ra $x=3.$

Nếu $y=1$ thì $5^{y}=5$ và $3^{x}=23,$ không có số tự nhiên $x$ nào thỏa mãn.

Nếu $y=2$ thì $5^{y}=25$ và $3^{x}=3,$ suy ra $x=1.$

Vậy có hai bộ số tự nhiên ( $x ; y ; z)$ thỏa mãn bài toán là: $(3 ; 0 ; 0)$ và $(1 ; 2 ; 0).$