[tc88][T4/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=30^{\circ}.$ Bên ngoài tam giác $ABC,$ dựng tam giác $ACD$ vuông cân tại $D.$ Chứng minh rằng $2BD^2=BA^2+BC^2+BA\cdot BC$. %\vspace{-1.5cm}NGUYỄN QUANG NAM(GV THPT Quỳ Hợp 2, Quỳ Hợp, Nghệ An)

Lời giải

Dựng tam giác $BDK$ vuông cân tại $D$ sao cho $K$ và $A$ nằm khác phía so với bờ $BD.$ Hạ $KE$ vuông góc với $BC$ tại $E.$
Ta có $\widehat{KDC}=\widehat{BDA}=90^{\circ}-\widehat{BDC},$ suy ra $\triangle ABD=\triangle CKD$ (c.g.c), nên $AB=CK$ và $\widehat{BAD}=\widehat{KCD}.$
Vậy $\widehat{BCK}=360^{\circ}-\widehat{BCD}-\widehat{DCK}=360^{\circ}-\widehat{BCD}-\widehat{BAD}=120^{\circ}.$} { } Suy ra $\widehat{KCE}=60^{\circ},$ dẫn đến $KC=2CE.$ Ta có $$\begin{eqnarray*} &2BD^2=BK^2&=BE^2+EK^2\\ &&=BC^2+2BC\cdot CE+CE^2+CK^2-CE^2\\ &&=BC^2+CK^2+BC\cdot 2CE\\ &&=BC^2+CK^2+BC\cdot CK\\ &&=BC^2+AB^2+BC\cdot AB. \end{eqnarray*}$$ Vậy $2BD^2=BA^2+BC^2+BA\cdot BC.$