Processing math: 4%

Thư viện tra cứu id trong tài liệu

Hướng dẫn xem lời giải theo mã id trong tài liệu

Chủ Nhật, 4 tháng 10, 2020

[tc89][T5/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}+\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}.

Lời giải

Điều kiện: -1 < x < 1; -1 < y < 1; -1 < z < 1.
Với điều kiện trên suy ra 5-3x > 0; 5-3y > 0; 5-3z > 0.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có \begin{align*} T&\,=\,\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}+\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\,\ge\, 3 \sqrt[3]{\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}\cdot\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}}. \end{align*}Dấu đẳng thức đạt được khi
\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}.
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có
5-3x=(1+x)+4(1-x)\ge 2\sqrt{(1+x)4(1-x)}
hay
5-3x\ge 4\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}\ge 4.
Dấu đẳng thức đạt được khi 1+x=4(1-x)\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}.
Tương tự có \dfrac{5-3y}{\sqrt{1-y^2}}\ge 4; \dfrac{5-3z}{\sqrt{1-z^2}}\ge 4.
Do đó T\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}\cdot\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}}\ge 3\sqrt[3]{4^3}=12.
Dấu đẳng thức đạt được \Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{5}.
Vậy \min T=12, đạt được \Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{5}. Điều then chốt của lời giải là chứng minh BĐT \dfrac{5-3a}{\sqrt{1-a^2}}\ge 4 với -1 < a < 1 và sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương để ước lượng vế phải của T.

Bài viết cùng chủ đề:

0 nhận xét:

Đăng nhận xét