[tc89][T5/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}+\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}$.

Lời giải

Điều kiện: $-1 < x < 1$; $-1 < y < 1$; $-1 < z < 1$.
Với điều kiện trên suy ra $5-3x > 0$; $5-3y > 0$; $5-3z > 0$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có \begin{align*} T&\,=\,\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}+\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\,\ge\, 3 \sqrt[3]{\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}\cdot\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}}. \end{align*}Dấu đẳng thức đạt được khi

$\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}$.

Lại áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có

$5-3x=(1+x)+4(1-x)\ge 2\sqrt{(1+x)4(1-x)}$

hay

$5-3x\ge 4\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}\ge 4$.

Dấu đẳng thức đạt được khi $1+x=4(1-x)\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{5}$.
Tương tự có $\dfrac{5-3y}{\sqrt{1-y^2}}\ge 4$; $\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-z^2}}\ge 4$.
Do đó $T\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-y^2}}\cdot \dfrac{5-3y}{\sqrt{1-z^2}}\cdot\dfrac{5-3z}{\sqrt{1-x^2}}}\ge 3\sqrt[3]{4^3}=12$.
Dấu đẳng thức đạt được $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{5}$.
Vậy $\min T=12$, đạt được $\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{5}$. Điều then chốt của lời giải là chứng minh BĐT $\dfrac{5-3a}{\sqrt{1-a^2}}\ge 4$ với $-1 < a < 1$ và sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương để ước lượng vế phải của $T$.