[tc90][T6/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Tìm tham số $m$ để phương trình $4^x+2=m\cdot 2^x(1-x)x$ có nghiệm duy nhất.

Lời giải

Ta có $$\begin{align*} &4^x+2=m\cdot 2^x(1-x)x\\ \Leftrightarrow&2^x+2^{1-x}=m\cdot x(1-x).\tag{*} \end{align*}$$ Nếu $x$ là nghiệm của phương trình đã cho thì $1-x$ cũng là nghiệm của phương trình này, vì ta có vai trò của $x$ và $x-1$ hoán đổi được cho nhau. Vậy khi $x$ là nghiệm duy nhất thì $x=1-x\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$.
Thay giá trị này vào phương trình ta có $m=8\sqrt{2}$.
Thay $m=8\sqrt{2}$ vào phương trình (*) ta có phương trình

$2^x+2^{1-x}= 8\sqrt{2}(1-x)x$.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có vế trái là

$2^x+2^{1-x}\ge 2\sqrt{2^x\cdot 2^{1-x}}=2\sqrt{2}$.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có vế phải là

$8\sqrt{2}(1-x)x\le 2\sqrt{2}(1-x+x)^2=2\sqrt{2}$.

Như vậy, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong cả hai BĐT ta có dấu bằng, tức là chỉ khi $x=1-x$, hay là chỉ khi $x=\dfrac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m=8\sqrt{2}$.