[tc91][T7/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) > 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\sqrt{\dfrac a{b+c}}+\sqrt{\dfrac b{c+a}}+\sqrt{\dfrac c{a+b}}+\dfrac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}.$$

Lời giải

Từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca > 0$ và $\dfrac a{b+c}-\dfrac{a^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{abc}{(b+c)(ab+bc+ca)}\ge 0$.
Suy ra $\sqrt{\dfrac a{b+c}}\ge\dfrac a{\sqrt{a b+b c+c a}}$.
Tương tự ta có: $\begin{aligned}[t] & \sqrt{\dfrac b{c+a}}\ge\dfrac b{\sqrt{ab+bc+ca}}\\ &\sqrt{\dfrac c{a+b}}\ge\dfrac c{\sqrt{ab+bc+ca}}. \end{aligned}$
Từ đó và theo BĐT Cauchy, suy ra: $$\begin{eqnarray*} P&=&\sqrt{\dfrac a{b+c}}+\sqrt{\dfrac b{c+a}}+\sqrt{\dfrac c{a+b}}+\dfrac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\\ &\ge&\dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\dfrac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\\ &\ge&\dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}+\dfrac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\\ &\ge& 2\sqrt{\dfrac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ca}}}\dfrac{4\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}=4. \end{eqnarray*}$$ Dẳng thức xảy ra khi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}& abc=0 \\ & (a+b+c)^2=4(ab+bc+ca).\end{array} \right.$
Hay $a=b \ne 0$, $c=0$ hoặc $b=c\ne 0$, $a=0$ hoặc $c=a \ne 0$, $b=0$.
Kết luận: $\min P=4$ khi $a=b \ne 0$, $c=0$ hoặc $b=c\ne 0$, $a=0$ hoặc $c=a \ne 0$, $b=0$.