[tc92][T8/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho tam giác $ ABC $ có $ \widehat{ C }=45^{\circ} $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $, $ \widehat{ AGB }=\alpha $. Chứng minh hệ thức $\dfrac{\sqrt 2}{\sin A\sin B}+3\cot\alpha=1$.

Lời giải

\immini { Đặt $ BC=a $; $ AC=b $; $ AB=c $. Sử dụng định lý hàm số côsin cho tam giác $ \triangle AGB $ có:
\[ \cot\alpha=\dfrac{GA^2+GB^2-c^2}{4S_{AGB}}=\dfrac{4AM^2+4BN^2-9c^2}{12S_{ABC}}. \tag{1}\] Áp dụng công thức đường trung tuyến của $ \triangle ABC $, ta có $ AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4} $; $ BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4} $.
Thay vào $ (1) $ ta được: $\cot\alpha=\dfrac{a^2+b^2-5c^2}{12S_{ABC}}. $ $(2)$ } { } \[\cot C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S_{ABC}}=\dfrac{3a^2+3b^2-3c^2}{12S_{ABC}} \tag{3}\]
Từ $ (2) $ và $ (3) $ $\Rightarrow\cot C-\cot\alpha=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{6S_{ABC}}. $ $ (4) $
Chú ý rằng $\cot A+\cot B+\cot C=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S_{AB C}}.$ $ (5) $
Từ $ (4) $ và $ (5) $ $\Rightarrow\cot C-\cot\alpha=\dfrac 23(\cot A+\cot B+\cot C)$.
Vì $ \widehat{ C }=45^{\circ} $ nên $1-3\cot\alpha=\dfrac{2\sin C}{\sin A\sin B}=\dfrac{\sqrt 2}{\sin A\sin B}$.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.