[tc92][T8/510 Toán học & tuổi trẻ số 510, tháng 12 năm 2019] Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ C }=45^{\circ}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $\widehat{ AGB }=\alpha$. Chứng minh hệ thức $\dfrac{\sqrt 2}{\sin A\sin B}+3\cot\alpha=1$.

Lời giải

\immini { Đặt $BC=a$; $AC=b$; $AB=c$. Sử dụng định lý hàm số côsin cho tam giác $\triangle AGB$ có:
$$\cot\alpha=\dfrac{GA^2+GB^2-c^2}{4S_{AGB}}=\dfrac{4AM^2+4BN^2-9c^2}{12S_{ABC}}. \tag{1}$$ Áp dụng công thức đường trung tuyến của $\triangle ABC$, ta có $AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$; $BN^2=\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4}$.
Thay vào $(1)$ ta được: $\cot\alpha=\dfrac{a^2+b^2-5c^2}{12S_{ABC}}.$ $(2)$ } { } $$\cot C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S_{ABC}}=\dfrac{3a^2+3b^2-3c^2}{12S_{ABC}} \tag{3}$$
Từ $(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow\cot C-\cot\alpha=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{6S_{ABC}}.$ $(4)$
Chú ý rằng $\cot A+\cot B+\cot C=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S_{AB C}}.$ $(5)$
Từ $(4)$ và $(5)$ $\Rightarrow\cot C-\cot\alpha=\dfrac 23(\cot A+\cot B+\cot C)$.
Vì $\widehat{ C }=45^{\circ}$ nên $1-3\cot\alpha=\dfrac{2\sin C}{\sin A\sin B}=\dfrac{\sqrt 2}{\sin A\sin B}$.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.